심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

제1종 오류는 연구자가 어떻게 할 때 일어납니까?

A잘못된 통계 검정을 사용할 때
B실제로 참인 영가설을 기각할 때
C자료를 너무 많이 수집할 때
D거짓인 영가설을 기각하지 않을 때

2.심리학 연구 방법어려움

한 심리학과가 심리학 개론 수강생에게서만 참가자를 모집합니다. 비판자들은 표본이 "WEIRD"하다고 말합니다. 이것은 무엇을 가리킵니까?

A일반화되지 않을 수 있는 서구적, 교육받은, 산업화된, 부유한, 민주적인 표본
B가중 무선 방법으로 모집한 표본
C행동이 유난히 이상한 표본
D연구에서 일찍 탈락하는 표본

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 29, 53, 51, 41, 35, 32.

n = 6

s =

4.기술통계어려움

시험 점수는 평균 170, 표준편차 10인 정규분포를 따릅니다. 155점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 170σ = 10x = 155

z =

5.확률보통

표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35

σ =

6.확률어려움

X의 분포가 표와 같고 Y = 0.5X + 4입니다. Y의 표준편차 σ_Y을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.05, 0.3, 0.35, 0.3Y = 0.5X + 4

σ_Y =

7.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 z의 오른쪽 색칠한 넓이가 0.9761이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.9761

z =

8.정규분포어려움

구멍 지름 D는 평균 25.03 mm, 표준편차 0.02 mm인 정규분포를 따릅니다. 축 지름 d는 독립이며 평균 25 mm, 표준편차 0.015 mm인 정규분포를 따릅니다. 무작위로 고른 축은 D − d > 0일 때 끼워집니다. 끼워질 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

구멍: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mm축: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

9.신뢰구간보통

두 휴대전화 모델의 배터리 수명을 비교한다. 모델 1: 휴대전화 50대, 평균 150 h, 알려진 표준 편차 3 h. 모델 2: 휴대전화 80대, 평균 148.5 h, 알려진 표준 편차 12 h. μ₁ − μ₂에 대한 99% 신뢰구간의 상한을 구하시오.

n₁ = 50x̄₁ = 150 hσ₁ = 3 hn₂ = 80x̄₂ = 148.5 hσ₂ = 12 h99%

상한 = h

10.신뢰구간어려움

기계 가공한 축 16개의 지름의 표본 표준 편차는 7.8 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 하한 σ을(를) 구하시오. df = 15에서 χ² 분포의 2.5%는 6.262 아래에, 2.5%는 27.488 위에 있다.

n = 16s = 7.8 µmχ² = 6.262, 27.488

σ = µm

11.가설 검정과 신뢰구간보통

두 생산 라인이 같은 부품을 만든다. 라인 1: 부품 100개 표본의 평균 길이는 137 mm이고, 라인의 알려진 표준 편차는 5 mm이다. 라인 2: 부품 50개 표본의 평균은 134.9 mm, 알려진 표준 편차는 5 mm이다. 차이를 x̄₁ − x̄₂(라인 1 빼기 라인 2)로 하여 H₀: μ₁ = μ₂에 대한 검정 통계량 z을(를) 구하시오.

n₁ = 100x̄₁ = 137 mmσ₁ = 5 mmn₂ = 50x̄₂ = 134.9 mmσ₂ = 5 mm

z =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

H₀: μ = 80 대 H₁: μ > 80의 단측 z 검정을 표본 크기 64, α = 0.05에서 실시한다. 표준 편차는 8로 알려져 있다. 실제 평균은 81이다. 검정력 1 − β을(를) 퍼센트로 구하시오.

μ₀ = 80μ = 81σ = 8n = 64α = 0.05

1 − β = %

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6Σx = 33Σy = 335Σx² = 199Σy² = 18867Σxy = 1892

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 114을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 6ŷ = 114

x =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1402 × 3

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.01에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 2803 × 2α = 0.01

χ² =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: B · 실제로 참인 영가설을 기각할 때

이것이 답인 이유

제1종 오류는 존재하지 않는 효과를 있다고 주장하는 것이며, 그 확률은 유의수준(흔히 0.05)과 같습니다. 제2종 오류는 실제 효과를 놓치는 것입니다.

답

B · 실제로 참인 영가설을 기각할 때

2.심리학 연구 방법

답: A · 일반화되지 않을 수 있는 서구적, 교육받은, 산업화된, 부유한, 민주적인 표본

이것이 답인 이유

헨릭(Henrich)과 동료들은 대부분의 심리학 참가자가 인류를 대표하지 않는 WEIRD 사회 출신이라는 점을 지적했으며, 이는 모집단 타당도를 위협합니다.

답

A · 일반화되지 않을 수 있는 서구적, 교육받은, 산업화된, 부유한, 민주적인 표본

3.기술통계

답: s = 10.01

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 241/6 = 40.17

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−11.17)² + 12.83² + 10.83² + 0.8333² + (−5.167)² + (−8.167)² = 500.8

표준편차

s = √(500.8/5) = 10.01

답

s = 10.01

4.기술통계

답: z = −1.5

표준화하기

z = (155 − 170)/10 = −1.5

답

z = −1.5

5.확률

답: σ = 0.8047

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.3 + 1·0.35 + 2·0.35 = 1.05

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.35 + 4·0.35 = 1.75

분산

Var(X) = 1.75 − 1.05² = 0.6475

σ = √0.6475 = 0.8047

답

σ = 0.8047

6.확률

답: σ_Y = 0.4444

X의 퍼짐

μ = 1.9, Var(X) = 0.79, σ_X = 0.8888

일차 변환

σ_Y = |0.5|·0.8888 = 0.4444

답

σ_Y = 0.4444

평균은 실제로 이동합니다: E(Y) = 0.5·1.9 + 4 = 4.95.

7.정규분포

답: z = −1.98

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = 1 − 0.9761 = 0.0239

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.0239을 찾아 z를 읽으세요.

z = −1.98

답

z = −1.98

8.정규분포

답: P = 0.8849

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

차의 분포

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.025 mm

표준화하기

z = (0 − 0.03)/0.025 = −1.2

확률

P = 1 − Φ(−1.2) = 0.8849

답

P = 0.8849

9.신뢰구간

답: 상한 = 5.125 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

점추정값

x̄₁ − x̄₂ = 150 − 148.5 = 1.5

표준오차

SE = √(3²/50 + 12²/80) = 1.407

오차 한계

E = 2.576·1.407 = 3.625

구간

1.5 ± 3.625 → [−2.125, 5.125]

답

상한 = 5.125 h

구간이 0을 포함하므로 자료는 유의한 차이를 보여 주지 않습니다.

10.신뢰구간

답: σ = 5.762 µm

분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.

제곱합

(n − 1)s² = 15·7.8² = 912.6

σ²의 한계

912.6/27.488 = 33.2

912.6/6.262 = 145.7

σ의 한계

σ = √33.2 = 5.762 µm

답

σ = 5.762 µm

σ의 95% 구간: [5.762, 12.07] µm.

11.가설 검정과 신뢰구간

답: z = 2.425

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

차의 표준 오차

SE = √(5²/100 + 5²/50) = √0.75 = 0.866

검정통계량

z = (137 − 134.9)/0.866 = 2.425

답

z = 2.425

|z| > 1.96이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: 1 − β = 25.95 %

검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

임계 표본 평균

SE = 8/√64 = 1

x̄_c = 80 + 1.645·1 = 81.64

참 평균에서의 z

z = (81.64 − 81)/1 = 0.645

전력

검정력 = P(Z > 0.645) = 25.95%

1 − β = 25.95%

답

1 − β = 25.95%

13.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9273

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 1892 − 33·335/6 = 49.5

S_xx = 199 − 33²/6 = 17.5

S_yy = 18867 − 335²/6 = 162.8

상관계수

r = 49.5/√(17.5·162.8) = 0.9273

답

r = 0.9273

14.선형 회귀와 상관

답: x = 28.41

평균

x̄ = 135/6 = 22.5

ȳ = 524/6 = 87.33

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 711

회귀직선

b = 711/157.5 = 4.514

a = 87.33 − 4.514·22.5 = −14.24

ŷ = −14.24 + 4.514·x

x 구하기

x = (114 − (−14.24))/4.514 = 28.41

답

x = 28.41

15.카이제곱 검정

답: χ² = 15.33

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

학생: 40·70/140 = 20, 40·35/140 = 10, 40·35/140 = 10

교직원: 100·70/140 = 50, 100·35/140 = 25, 100·35/140 = 25

카이제곱 통계량

χ² = (27 − 20)²/20 + (12 − 10)²/10 + (1 − 10)²/10 + (43 − 50)²/50 + (23 − 25)²/25 + (34 − 25)²/25

χ² = 15.33

답

χ² = 15.33

df = 2. α = 0.05에서 임곗값은 5.991이므로 H₀(독립)은 기각됩니다.

16.카이제곱 검정

답: χ² = 6.41

기대 도수

1라인: 50, 50

2라인: 40, 40

3라인: 50, 50

카이제곱 통계량

χ² = (40 − 50)²/50 + (60 − 50)²/50 + (43 − 40)²/40 + (37 − 40)²/40 + (57 − 50)²/50 + (43 − 50)²/50

χ² = 6.41

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 9.210

6.41 < 9.210

답

χ² = 6.41

χ²이 임곗값보다 작으므로 H₀을 기각하지 않습니다. 관련성에 대한 유의한 증거가 없습니다.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology