심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

대학 모집단과 같은 비율로 1학년, 2학년, 3학년 학생을 포함하는 표본을 얻으려면 연구자는 무엇을 사용해야 합니까?

A기회 표집
B자원자 표집
C층화 표집
D눈덩이 표집

2.심리학 연구 방법어려움

한 메타분석이 어떤 치료에 관한 연구 40편을 종합합니다. 전체 효과 크기가 여전히 너무 클 수 있는 이유는 무엇입니까?

A연구를 종합하면 항상 모든 편향이 제거된다
B메타분석은 항상 포함된 단일 연구보다 작은 효과를 주기 때문
C출판 편향 때문에 출판되지 않은 영가설 연구가 빠져 있을 수 있다
D메타분석은 무선화 시험을 포함할 수 없다

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 17, 29, 52, 20, 36, 31.

n = 6

s =

4.기술통계어려움

시험 점수는 평균 50, 표준편차 5인 정규분포를 따릅니다. 52점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 50σ = 5x = 52

z =

5.확률보통

표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.15, 0.25, 0.2, 0.25, 0.15

σ =

6.확률어려움

X의 분포가 표와 같고 Y = 3X + 20입니다. Y의 표준편차 σ_Y을(를) 구하시오.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.15, 0.15, 0.35, 0.35Y = 3X + 20

σ_Y =

7.정규분포보통

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 172.4에서 181.85 cm 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 178σ = 7x₁ = 172.4x₂ = 181.85

P =

8.정규분포어려움

시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 전체의 99%가 그 아래에 있는 값 x(99 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 65σ = 10P = 99%

x = 점

9.신뢰구간보통

관측값 100개와 알려진 σ에 근거한 평균의 95% 신뢰구간의 오차 한계는 7.8이다. 관측값 400개에 근거한 90% 구간의 오차 한계 E₂은(는) 얼마인가?

95%n₁ = 100E₁ = 7.890%n₂ = 400

E₂ =

10.신뢰구간어려움

두 비료를 시험한다. 구획 집단 1: 5개 구획, 평균 수확량 12.5 kg, 표준 편차 2.5 kg. 구획 집단 2: 7개 구획, 평균 15 kg, 표준 편차 1.5 kg. 분산이 같다고 가정한다(합동 t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂에 대한 99% 신뢰구간의 상한을 구하시오.

n₁ = 5x̄₁ = 12.5s₁ = 2.5n₂ = 7x̄₂ = 15s₂ = 1.599%t(10) = 3.169

상한 = kg

11.가설 검정과 신뢰구간보통

직원 15명이 교육 과정 전후에 타자 시험을 본다. 각 사람에 대해 차이 d = 후 − 전(분당 단어 수)을 기록한다. 평균 차이는 4.87, 차이의 표준 편차는 8.2이다. H₀: μ_d = 0에 대한 대응 검정 통계량 t을(를) 구하시오.

n = 15d̄ = 4.87s_d = 8.2

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 2.5 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 10입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.

σ = 10E = 2.590%

n =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6Σx = 153Σy = 746Σx² = 4059Σy² = 97246Σxy = 19860

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 22.5일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 6x = 22.5

ŷ =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1802 × 2

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

카이제곱 적합도 검정으로 7개 범주의 관측 도수를 완전히 지정된 기대 비율과 비교합니다(자료에서 추정한 모수 없음). 표를 이용해 유의수준 α = 0.05에서 임곗값 χ²_crit을(를) 구하세요.

α = 0.05

χ²_crit =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: C · 층화 표집

이것이 답인 이유

층화 표집은 하위 집단(층)을 확인하고 모집단 내 크기에 비례하여 각 층에서 무선 표집하므로 표본의 대표성이 높아집니다.

답

C · 층화 표집

2.심리학 연구 방법

답: C · 출판 편향 때문에 출판되지 않은 영가설 연구가 빠져 있을 수 있다

이것이 답인 이유

영가설 결과가 덜 자주 출판되면 통합된 효과가 부풀려집니다. 깔때기 도표와 미출판 자료 탐색이 이를 발견하고 줄이는 데 도움이 됩니다.

답

C · 출판 편향 때문에 출판되지 않은 영가설 연구가 빠져 있을 수 있다

3.기술통계

답: s = 12.54

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 185/6 = 30.83

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−13.83)² + (−1.833)² + 21.17² + (−10.83)² + 5.167² + 0.1667² = 786.8

표준편차

s = √(786.8/5) = 12.54

답

s = 12.54

4.기술통계

답: z = 0.4

표준화하기

z = (52 − 50)/5 = 0.4

답

z = 0.4

5.확률

답: σ = 1.304

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 1·0.15 + 2·0.25 + 3·0.2 + 4·0.25 + 5·0.15 = 3

제곱의 평균

E(X²) = 1·0.15 + 4·0.25 + 9·0.2 + 16·0.25 + 25·0.15 = 10.7

분산

Var(X) = 10.7 − 3² = 1.7

σ = √1.7 = 1.304

답

σ = 1.304

6.확률

답: σ_Y = 6.264

X의 퍼짐

μ = 3.8, Var(X) = 4.36, σ_X = 2.088

일차 변환

σ_Y = |3|·2.088 = 6.264

답

σ_Y = 6.264

평균은 실제로 이동합니다: E(Y) = 3·3.8 + 20 = 31.4.

7.정규분포

답: P = 0.497

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (172.4 − 178)/7 = −0.8

z₂ = (181.85 − 178)/7 = 0.55

사이의 넓이

P = Φ(0.55) − Φ(−0.8) = 0.7088 − 0.2119 = 0.497

답

P = 0.497

8.정규분포

답: x = 88.26 점

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

다시 x로

x = 65 + 2.326·10 = 88.26 점

답

x = 88.26 점

9.신뢰구간

답: E₂ = 3.273

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

오차 한계의 비

E₂/E₁ = (1.645/1.96)·√(100/400) = 0.4196

새 오차 한계

E₂ = 7.8·0.4196 = 3.273

답

E₂ = 3.273

10.신뢰구간

답: 상한 = 1.141 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

합동 표준 편차

s_p² = (4·2.5² + 6·1.5²)/10 = 3.85

s_p = 1.962

오차 한계

E = 3.169·1.962·√(1/5 + 1/7) = 3.641

구간

−2.5 ± 3.641 → [−6.141, 1.141]

답

상한 = 1.141 kg

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 2.3

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

평균 차이의 표준 오차

SE = 8.2/√15 = 2.117

검정통계량

t = 4.87/2.117 = 2.3

답

t = 2.3

df = 14에서 양측 5% 임곗값은 2.145입니다. |t|가 더 크므로 H₀를 기각합니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 44

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

n에 대해 풀기

n = (1.645·10/2.5)² = 43.3

올림하기

n = 44

답

n = 44

13.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9949

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 19860 − 153·746/6 = 837

S_xx = 4059 − 153²/6 = 157.5

S_yy = 97246 − 746²/6 = 4493

상관계수

r = 837/√(157.5·4493) = 0.9949

답

r = 0.9949

14.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 92.5

평균

x̄ = 135/6 = 22.5

ȳ = 555/6 = 92.5

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 706.5

회귀직선

b = 706.5/157.5 = 4.486

a = 92.5 − 4.486·22.5 = −8.429

ŷ = −8.429 + 4.486·x

예측

ŷ = −8.429 + 4.486·22.5 = 92.5

답

ŷ = 92.5

15.카이제곱 검정

답: χ² = 10

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

흡연자: 120·90/180 = 60, 120·90/180 = 60

비흡연자: 60·90/180 = 30, 60·90/180 = 30

카이제곱 통계량

χ² = (70 − 60)²/60 + (50 − 60)²/60 + (20 − 30)²/30 + (40 − 30)²/30

χ² = 10

답

χ² = 10

df = 1. α = 0.05에서 임곗값은 3.841이므로 H₀(독립)은 기각됩니다.

16.카이제곱 검정

답: χ²_crit = 12.59

자유도

df = 7 − 1 = 6

표

χ²_crit(df = 6, α = 0.05) = 12.592

답

χ²_crit = 12.592

계산한 χ²이 이 값보다 크면 H₀을 기각합니다.

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