심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

관찰에서 자료 수집 전에 행동 범주를 조작적으로 정의하는 이유는 무엇입니까?

A자료를 본 후 가설을 바꿀 수 있도록
B참가자가 무엇이 기록되는지 정확히 알도록
C관찰이 실험이 되도록
D관찰자들이 같은 행동을 일관되게 기록하여 신뢰도를 높이도록

2.심리학 연구 방법어려움

두 관찰자가 놀이터에서 공격 행동을 기록하고 그들의 횟수가 r = 0.45로 상관됩니다. 연구자는 어떻게 해야 합니까?

A두 횟수 중 더 높은 것만 사용한다
B어떤 정적 상관이든 충분하므로 자료를 받아들인다
C단측 가설로 바꾼다
D행동 범주를 다듬고 관찰자를 훈련한 뒤 일치도를 다시 확인한다

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 39, 18, 36, 32, 41.

n = 5

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 70, 표준편차 10인 정규분포를 따릅니다. 74보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 70σ = 10x = 74

P =

5.확률보통

표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.15, 0.35, 0.15, 0.35

σ =

6.확률어려움

부품 12개를 시험하며, 각 부품은 독립적으로 확률 0.2로 고장 납니다. 고장이 많아야 하나일 확률 P는 얼마일까요?

n = 12p = 0.2

P =

7.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 −z와 z 사이의 색칠한 넓이가 0.5587이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.5587

z =

8.정규분포어려움

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 상위 40%가 오른쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 178 cmσ = 7 cm40%

x = cm

9.신뢰구간보통

두 휴대전화 모델의 배터리 수명을 비교한다. 모델 1: 휴대전화 100대, 평균 89.5 h, 알려진 표준 편차 18 h. 모델 2: 휴대전화 40대, 평균 88.5 h, 알려진 표준 편차 6 h. μ₁ − μ₂에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하시오.

n₁ = 100x̄₁ = 89.5 hσ₁ = 18 hn₂ = 40x̄₂ = 88.5 hσ₂ = 6 h90%

E = h

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 15입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 1 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 15E = 195%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 16명 표본의 평균 점수는 53, 표본 표준편차는 10입니다. H₀: μ = 50에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 50x̄ = 53s = 10n = 16

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 0.5 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 20입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.

σ = 20E = 0.595%

n =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (11, 30)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 6(11, 30)

e =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 802 × 2

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

카이제곱 적합도 검정으로 7개 범주의 도수가, 같은 자료에서 평균을 추정한 푸아송 분포를 따르는지 확인합니다. 표를 이용해 유의수준 α = 0.05에서 임곗값 χ²_crit을(를) 구하세요.

α = 0.05

χ²_crit =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: D · 관찰자들이 같은 행동을 일관되게 기록하여 신뢰도를 높이도록

이것이 답인 이유

명확하고 관찰 가능한 범주(예: "손바닥으로 때림")는 주관적 판단을 줄이고 관찰자 간 신뢰도를 높입니다.

답

D · 관찰자들이 같은 행동을 일관되게 기록하여 신뢰도를 높이도록

2.심리학 연구 방법

답: D · 행동 범주를 다듬고 관찰자를 훈련한 뒤 일치도를 다시 확인한다

이것이 답인 이유

낮은 관찰자 간 신뢰도는 범주가 일관되게 적용되지 않는다는 뜻입니다. 본 자료 수집 전에 더 명확한 조작적 정의와 연습 회기로 일치도를 높여야 합니다.

답

D · 행동 범주를 다듬고 관찰자를 훈련한 뒤 일치도를 다시 확인한다

3.기술통계

답: s = 9.149

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 166/5 = 33.2

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 5.8² + (−15.2)² + 2.8² + (−1.2)² + 7.8² = 334.8

표준편차

s = √(334.8/4) = 9.149

답

s = 9.149

4.기술통계

답: P = 0.3446

표준화하기

z = 0.4

표준정규분포표

Φ(0.4) = 0.6554

P = 1 − 0.6554 = 0.3446

답

P = 0.3446

5.확률

답: σ = 11

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 10·0.15 + 20·0.35 + 30·0.15 + 40·0.35 = 27

제곱의 평균

E(X²) = 100·0.15 + 400·0.35 + 900·0.15 + 1600·0.35 = 850

분산

Var(X) = 850 − 27² = 121

σ = √121 = 11

답

σ = 11

6.확률

답: P = 0.2749

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

고장 0개와 1개

P(X = 0) = 0.8¹² = 0.06872

P(X = 1) = 12·0.2·0.8¹¹ = 0.2062

더하기

P = 0.06872 + 0.2062 = 0.2749

답

P = 0.2749

7.정규분포

답: z = 0.77

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = (1 + 0.5587)/2 = 0.7794

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.7794을 찾아 z를 읽으세요.

z = 0.77

답

z = 0.77

8.정규분포

답: x = 179.8 cm

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.6

표에서 구한 z

z ≈ 0.25

원래 단위로 되돌리기

x = 178 + 0.25·7 = 179.8 cm

답

x = 179.8 cm

9.신뢰구간

답: E = 3.347 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

점추정값

x̄₁ − x̄₂ = 89.5 − 88.5 = 1

표준오차

SE = √(18²/100 + 6²/40) = 2.035

오차 한계

E = 1.645·2.035 = 3.347

답

E = 3.347 h

구간이 0을 포함하므로 자료는 유의한 차이를 보여 주지 않습니다.

10.신뢰구간

답: n = 865

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = (1.96·15/1)² = 864.4

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 865

답

n = 865

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 1.2

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 10/√16 = 10/4 = 2.5

검정통계량

t = (53 − 50)/2.5 = 1.2

답

t = 1.2

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| < 2.131이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 6147

n에 대해 풀기

n = (1.96·20/0.5)² = 6147

올림하기

n = 6147

답

n = 6147

13.선형 회귀와 상관

답: r = −0.9901

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 111/5 = 22.2

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 40.8

상관계수

r = −20/√(10·40.8) = −0.9901

답

r = −0.9901

14.선형 회귀와 상관

답: e = 2.514

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 108/6 = 18

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 166

회귀직선

b = 166/70 = 2.371

a = 18 − 2.371·7 = 1.4

ŷ = 1.4 + 2.371·x

예측값

ŷ = 1.4 + 2.371·11 = 27.49

잔차

e = 30 − 27.49 = 2.514

답

e = 2.514

점이 직선 위쪽에 있습니다.

15.카이제곱 검정

답: χ² = 1.818

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

신약: 40·36/80 = 18, 40·44/80 = 22

위약: 40·36/80 = 18, 40·44/80 = 22

카이제곱 통계량

χ² = (15 − 18)²/18 + (25 − 22)²/22 + (21 − 18)²/18 + (19 − 22)²/22

χ² = 1.818

답

χ² = 1.818

df = 1. α = 0.05에서 임곗값은 3.841이므로 H₀(독립)은 기각되지 않습니다.

16.카이제곱 검정

답: χ²_crit = 11.07

자유도

df = 7 − 1 − 1 = 5

표

χ²_crit(df = 5, α = 0.05) = 11.070

답

χ²_crit = 11.070

계산한 χ²이 이 값보다 크면 H₀을 기각합니다.

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