심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

15문항 불안 척도의 크론바흐 알파가 0.88이라는 것은 무엇을 나타냅니까?

A문항들의 내적 일관성이 좋다
B척도가 미래의 불안을 잘 예측한다
C척도가 불안에 유의한 효과를 준다
D점수가 6개월 동안 안정적이다

2.심리학 연구 방법어려움

연구자가 설문지, 면담, 관찰을 사용하여 직장 스트레스를 연구하고 그 결과가 일치합니다. 이러한 접근을 무엇이라고 합니까?

A층화
B삼각검증
C반복 연구
D역균형화

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 36, 29, 50, 14, 14, 54.

n = 6

s =

4.기술통계어려움

시험 점수는 평균 70, 표준편차 20인 정규분포를 따릅니다. 100점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 70σ = 20x = 100

z =

5.확률보통

표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.2, 0.25, 0.3

σ =

6.확률어려움

부품 10개를 시험하며, 각 부품은 독립적으로 확률 0.6로 고장 납니다. 고장이 많아야 하나일 확률 P는 얼마일까요?

n = 10p = 0.6

P =

7.정규분포보통

봉지 무게은(는) 평균 250 g, 표준편차 5 g인 정규분포를 따릅니다. 246에서 259 g 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 250σ = 5x₁ = 246x₂ = 259

P =

8.정규분포어려움

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 전체의 90%가 그 아래에 있는 값 x(90 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 178σ = 7P = 90%

x = cm

9.신뢰구간보통

항목 25개의 표본 평균은 113.5, 표준편차는 s = 17.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하세요.

n = 25x̄ = 113.5s = 17.599%t(24) = 2.797

E =

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 21입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 2 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 21E = 290%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 49명 표본의 평균 점수는 501.5, 표본 표준편차는 15입니다. H₀: μ = 500에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 500x̄ = 501.5s = 15n = 49

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 49개의 표본 평균은 106.3입니다. 모표준편차는 20입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 상한 U를 구하세요.

x̄ = 106.3σ = 20n = 4995%

U =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5Σx = 30Σy = 70Σx² = 220Σy² = 1202Σxy = 514

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 3.5일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 6x = 3.5

ŷ =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “농촌, 낮음”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.

행 합계 = 99열 합계 = 52N = 177

E =

16.카이제곱 검정어려움

카이제곱 적합도 검정으로 3개 범주의 관측 도수를 완전히 지정된 기대 비율과 비교합니다(자료에서 추정한 모수 없음). 표를 이용해 유의수준 α = 0.05에서 임곗값 χ²_crit을(를) 구하세요.

α = 0.05

χ²_crit =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: A · 문항들의 내적 일관성이 좋다

이것이 답인 이유

크론바흐 알파는 내적 일관성을 추정하며, 보통 약 0.7 이상이면 수용 가능하다고 봅니다. 그 자체로 타당도를 보여 주지는 않습니다.

답

A · 문항들의 내적 일관성이 좋다

2.심리학 연구 방법

답: B · 삼각검증

이것이 답인 이유

삼각검증은 여러 방법, 자료원 또는 연구자를 사용합니다. 그들 간의 일치는 결과의 타당도에 대한 확신을 높입니다.

답

B · 삼각검증

3.기술통계

답: s = 17.19

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 197/6 = 32.83

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 3.167² + (−3.833)² + 17.17² + (−18.83)² + (−18.83)² + 21.17² = 1477

표준편차

s = √(1477/5) = 17.19

답

s = 17.19

4.기술통계

답: z = 1.5

표준화하기

z = (100 − 70)/20 = 1.5

답

z = 1.5

5.확률

답: σ = 2.315

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.25 + 2·0.2 + 4·0.25 + 6·0.3 = 3.2

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.25 + 4·0.2 + 16·0.25 + 36·0.3 = 15.6

분산

Var(X) = 15.6 − 3.2² = 5.36

σ = √5.36 = 2.315

답

σ = 2.315

6.확률

답: P = 0.001678

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

고장 0개와 1개

P(X = 0) = 0.4¹⁰ = 0.0001049

P(X = 1) = 10·0.6·0.4⁹ = 0.001573

더하기

P = 0.0001049 + 0.001573 = 0.001678

답

P = 0.001678

7.정규분포

답: P = 0.7522

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (246 − 250)/5 = −0.8

z₂ = (259 − 250)/5 = 1.8

사이의 넓이

P = Φ(1.8) − Φ(−0.8) = 0.9641 − 0.2119 = 0.7522

답

P = 0.7522

8.정규분포

답: x = 187 cm

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

다시 x로

x = 178 + 1.282·7 = 186.97 cm

답

x = 186.97 cm

9.신뢰구간

답: E = 9.79

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 24, t = 2.797

오차 한계

E = 2.797·17.5/√25 = 9.79

답

E = 9.79

10.신뢰구간

답: n = 299

n에 대해 풀기

n = (1.645·21/2)² = 298.3

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 299

답

n = 299

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 0.7

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 15/√49 = 15/7 = 2.143

검정통계량

t = (501.5 − 500)/2.143 = 0.7

답

t = 0.7

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| < 2.011이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: U = 111.9

오차 한계

E = 1.96·20/√49 = 5.6

구간 끝값

U = 106.3 + 5.6 = 111.9

답

U = 111.9

13.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9975

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 514 − 30·70/5 = 94

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 1202 − 70²/5 = 222

상관계수

r = 94/√(40·222) = 0.9975

답

r = 0.9975

14.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 57.95

평균

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 407/6 = 67.83

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 86.5

회귀직선

b = 86.5/17.5 = 4.943

a = 67.83 − 4.943·5.5 = 40.65

ŷ = 40.65 + 4.943·x

예측

ŷ = 40.65 + 4.943·3.5 = 57.95

답

ŷ = 57.95

15.카이제곱 검정

답: E = 29.08

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

E = 99·52/177 = 29.08

답

E = 29.08

16.카이제곱 검정

답: χ²_crit = 5.991

자유도

df = 3 − 1 = 2

표

χ²_crit(df = 2, α = 0.05) = 5.991

답

χ²_crit = 5.991

계산한 χ²이 이 값보다 크면 H₀을 기각합니다.

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