심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

제1종 오류는 연구자가 어떻게 할 때 일어납니까?

A거짓인 영가설을 기각하지 않을 때
B잘못된 통계 검정을 사용할 때
C자료를 너무 많이 수집할 때
D실제로 참인 영가설을 기각할 때

2.심리학 연구 방법어려움

연구자가 한 자료로 20가지 분석을 하고 p < 0.05인 하나만 보고합니다. 이러한 관행을 무엇이라고 합니까?

A사전 등록
B삼각검증
Cp-해킹
D역균형화

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 10, 48, 29, 58, 43, 58.

n = 6

s =

4.기술통계어려움

시험 점수는 평균 70, 표준편차 10인 정규분포를 따릅니다. 58점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 70σ = 10x = 58

z =

5.확률보통

10명 중에서 4명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.

n = 10k = 4

N =

6.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 6개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.3로 맞힙니다. 정확히 3개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 6p = 0.3k = 3

P =

7.정규분포보통

짐을 든 승객의 질량은 독립이며 평균 85 kg, 표준편차 12 kg인 정규분포를 따릅니다. 그중 10개의 총 질량이 831 kg을(를) 초과할 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 10> 831 kg

P =

8.정규분포어려움

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 하위 70%가 왼쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 178 cmσ = 7 cm70%

x = cm

9.신뢰구간보통

관측값 36개와 알려진 σ에 근거한 평균의 90% 신뢰구간의 오차 한계는 6이다. 관측값 324개에 근거한 99% 구간의 오차 한계 E₂은(는) 얼마인가?

90%n₁ = 36E₁ = 699%n₂ = 324

E₂ =

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 8입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 1 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 8E = 195%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

직원 20명이 교육 과정 전후에 타자 시험을 본다. 각 사람에 대해 차이 d = 후 − 전(분당 단어 수)을 기록한다. 평균 차이는 3.74, 차이의 표준 편차는 5.4이다. H₀: μ_d = 0에 대한 대응 검정 통계량 t을(를) 구하시오.

n = 20d̄ = 3.74s_d = 5.4

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 36개의 표본 평균은 52입니다. 모표준편차는 10입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 하한 L를 구하세요.

x̄ = 52σ = 10n = 3695%

L =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 5

r² =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 62을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 5ŷ = 62

x =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1402 × 3

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

카이제곱 적합도 검정으로 4개 범주의 관측 도수를 완전히 지정된 기대 비율과 비교합니다(자료에서 추정한 모수 없음). 표를 이용해 유의수준 α = 0.05에서 임곗값 χ²_crit을(를) 구하세요.

α = 0.05

χ²_crit =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: D · 실제로 참인 영가설을 기각할 때

이것이 답인 이유

제1종 오류는 존재하지 않는 효과를 있다고 주장하는 것이며, 그 확률은 유의수준(흔히 0.05)과 같습니다. 제2종 오류는 실제 효과를 놓치는 것입니다.

답

D · 실제로 참인 영가설을 기각할 때

2.심리학 연구 방법

답: C · p-해킹

이것이 답인 이유

p-해킹은 분석의 유연성을 이용해 유의성을 얻어 거짓 양성률을 5%보다 훨씬 높입니다. 사전 등록과 투명한 보고가 이를 줄입니다.

답

C · p-해킹

3.기술통계

답: s = 18.63

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 246/6 = 41

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−31)² + 7² + (−12)² + 17² + 2² + 17² = 1736

표준편차

s = √(1736/5) = 18.63

답

s = 18.63

4.기술통계

답: z = −1.2

표준화하기

z = (58 − 70)/10 = −1.2

답

z = −1.2

5.확률

답: N = 210

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

조합

C(10, 4) = (10·9·8·7)/(4·3·2·1) = 210

답

N = 210

6.확률

답: P = 0.1852

이항분포 공식

P(X = 3) = 20·0.3³·0.7³ = 20·0.027·0.343 = 0.1852

답

P = 0.1852

7.정규분포

답: P = 0.6915

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합계의 분포

μ_T = 850 kg, σ_T = 12·√10 = 37.95 kg

표준화하기

z = (831 − 850)/37.95 = −0.5

확률

P = 1 − Φ(−0.5) = 0.6915

답

P = 0.6915

8.정규분포

답: x = 181.6 cm

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.7

표에서 구한 z

z ≈ 0.52

원래 단위로 되돌리기

x = 178 + 0.52·7 = 181.6 cm

답

x = 181.6 cm

9.신뢰구간

답: E₂ = 3.132

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

오차 한계의 비

E₂/E₁ = (2.576/1.645)·√(36/324) = 0.522

새 오차 한계

E₂ = 6·0.522 = 3.132

답

E₂ = 3.132

10.신뢰구간

답: n = 246

n에 대해 풀기

n = (1.96·8/1)² = 245.9

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 246

답

n = 246

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 3.097

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

평균 차이의 표준 오차

SE = 5.4/√20 = 1.207

검정통계량

t = 3.74/1.207 = 3.097

답

t = 3.097

df = 19에서 양측 5% 임곗값은 2.093입니다. |t|가 더 크므로 H₀를 기각합니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: L = 48.73

오차 한계

E = 1.96·10/√36 = 3.267

구간 끝값

L = 52 − 3.267 = 48.73

답

L = 48.73

13.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.8057

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 311/5 = 62.2

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 120

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 446.8

결정계수

r² = 120²/(40·446.8) = 0.8057

답

r² = 0.8057

y의 변동 중 약 80.57%가 직선으로 설명됩니다.

14.선형 회귀와 상관

답: x = 1.932

평균

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 412/5 = 82.4

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 266

회귀직선

b = 266/40 = 6.65

a = 82.4 − 6.65·5 = 49.15

ŷ = 49.15 + 6.65·x

x 구하기

x = (62 − 49.15)/6.65 = 1.932

답

x = 1.932

15.카이제곱 검정

답: χ² = 8.206

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

주간 근무: 80·35/140 = 20, 80·49/140 = 28, 80·56/140 = 32

야간 근무: 60·35/140 = 15, 60·49/140 = 21, 60·56/140 = 24

카이제곱 통계량

χ² = (17 − 20)²/20 + (36 − 28)²/28 + (27 − 32)²/32 + (18 − 15)²/15 + (13 − 21)²/21 + (29 − 24)²/24

χ² = 8.206

답

χ² = 8.206

df = 2. α = 0.05에서 임곗값은 5.991이므로 H₀(독립)은 기각됩니다.

16.카이제곱 검정

답: χ²_crit = 7.815

자유도

df = 4 − 1 = 3

표

χ²_crit(df = 3, α = 0.05) = 7.815

답

χ²_crit = 7.815

계산한 χ²이 이 값보다 크면 H₀을 기각합니다.

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