심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

소득처럼 정적으로 편포된 분포에서는 어떻습니까?

A극단 점수가 없다
B평균이 중앙값보다 크다
C평균과 중앙값이 항상 같다
D평균이 중앙값보다 작다

2.심리학 연구 방법어려움

일반 모집단에서는 더 높은데도, 프로 농구 선수만을 대상으로 한 연구에서 키와 IQ의 상관이 r = 0.05로 나타납니다. 약한 상관을 가장 잘 설명하는 것은 무엇입니까?

A평균으로의 회귀
B요구 특성
C범위 제한
DIQ 검사의 천장 효과

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 43, 54, 11, 22, 32, 14.

n = 6

s =

4.기술통계어려움

시험 점수는 평균 500, 표준편차 50인 정규분포를 따릅니다. 400점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 500σ = 50x = 400

z =

5.확률보통

표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.2, 0.05, 0.25, 0.15, 0.35

Var(X) =

6.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 9개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.6로 맞힙니다. 정확히 4개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 9p = 0.6k = 4

P =

7.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 z의 오른쪽 색칠한 넓이가 0.8438이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.8438

z =

8.정규분포어려움

배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 상위 10%가 오른쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 500 hσ = 40 h10%

x = h

9.신뢰구간보통

두 휴대전화 모델의 배터리 수명을 비교한다. 모델 1: 휴대전화 30대, 평균 96.5 h, 알려진 표준 편차 3 h. 모델 2: 휴대전화 30대, 평균 109 h, 알려진 표준 편차 14 h. μ₁ − μ₂에 대한 90% 신뢰구간의 상한을 구하시오.

n₁ = 30x̄₁ = 96.5 hσ₁ = 3 hn₂ = 30x̄₂ = 109 hσ₂ = 14 h90%

상한 = h

10.신뢰구간어려움

두 비료를 시험한다. 구획 집단 1: 9개 구획, 평균 수확량 48.5 kg, 표준 편차 4.5 kg. 구획 집단 2: 12개 구획, 평균 40 kg, 표준 편차 2.5 kg. 분산이 같다고 가정한다(합동 t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂에 대한 95% 신뢰구간의 하한을 구하시오.

n₁ = 9x̄₁ = 48.5s₁ = 4.5n₂ = 12x̄₂ = 40s₂ = 2.595%t(19) = 2.093

하한 = kg

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 36명 표본의 평균 점수는 495.7, 표본 표준편차는 10입니다. H₀: μ = 500에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 500x̄ = 495.7s = 10n = 36

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 49개의 표본 평균은 49.1입니다. 모표준편차는 20입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 상한 U를 구하세요.

x̄ = 49.1σ = 20n = 4995%

U =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 5

r² =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (5.5, 56)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 6(5.5, 56)

e =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “야간 근무, 경미한 결함”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.

행 합계 = 89열 합계 = 76N = 156

E =

16.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.01에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 2203 × 2α = 0.01

χ² =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: B · 평균이 중앙값보다 크다

이것이 답인 이유

오른쪽 꼬리의 매우 높은 값 몇 개가 평균을 중앙값보다 높이므로, 편포된 자료에서는 흔히 중앙값을 보고합니다.

답

B · 평균이 중앙값보다 크다

2.심리학 연구 방법

답: C · 범위 제한

이것이 답인 이유

표본이 한 변수의 좁은 범위만 포함하면 그 변수와 관련된 상관이 줄어듭니다. 농구 선수는 모두 키가 크므로 키의 변동이 작습니다.

답

C · 범위 제한

3.기술통계

답: s = 16.9

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 176/6 = 29.33

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 13.67² + 24.67² + (−18.33)² + (−7.333)² + 2.667² + (−15.33)² = 1427

표준편차

s = √(1427/5) = 16.9

답

s = 16.9

4.기술통계

답: z = −2

표준화하기

z = (400 − 500)/50 = −2

답

z = −2

5.확률

답: Var(X) = 2.24

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 1·0.2 + 2·0.05 + 3·0.25 + 4·0.15 + 5·0.35 = 3.4

제곱의 평균

E(X²) = 1·0.2 + 4·0.05 + 9·0.25 + 16·0.15 + 25·0.35 = 13.8

분산

Var(X) = 13.8 − 3.4² = 2.24

답

Var(X) = 2.24

6.확률

답: P = 0.1672

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

이항분포 공식

P(X = 4) = 126·0.6⁴·0.4⁵ = 126·0.1296·0.01024 = 0.1672

답

P = 0.1672

7.정규분포

답: z = −1.01

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = 1 − 0.8438 = 0.1562

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.1562을 찾아 z를 읽으세요.

z = −1.01

답

z = −1.01

8.정규분포

답: x = 551 h

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.9

표에서 구한 z

z ≈ 1.28

원래 단위로 되돌리기

x = 500 + 1.28·40 = 551 h

답

x = 551 h

9.신뢰구간

답: 상한 = −8.2 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

점추정값

x̄₁ − x̄₂ = 96.5 − 109 = −12.5

표준오차

SE = √(3²/30 + 14²/30) = 2.614

오차 한계

E = 1.645·2.614 = 4.3

구간

−12.5 ± 4.3 → [−16.8, −8.2]

답

상한 = −8.2 h

구간이 0을 포함하지 않으므로 두 평균은 유의하게 다릅니다.

10.신뢰구간

답: 하한 = 5.284 kg

합동 표준 편차

s_p² = (8·4.5² + 11·2.5²)/19 = 12.14

s_p = 3.485

오차 한계

E = 2.093·3.485·√(1/9 + 1/12) = 3.216

구간

8.5 ± 3.216 → [5.284, 11.72]

답

하한 = 5.284 kg

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −2.58

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 10/√36 = 10/6 = 1.667

검정통계량

t = (495.7 − 500)/1.667 = −2.58

답

t = −2.58

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| > 2.03이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: U = 54.7

오차 한계

E = 1.96·20/√49 = 5.6

구간 끝값

U = 49.1 + 5.6 = 54.7

답

U = 54.7

13.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9143

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 270/5 = 54

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 252

결정계수

r² = 96²/(40·252) = 0.9143

답

r² = 0.9143

y의 변동 중 약 91.43%가 직선으로 설명됩니다.

14.선형 회귀와 상관

답: e = 5.167

평균

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 305/6 = 50.83

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 28.5

회귀직선

b = 28.5/17.5 = 1.629

a = 50.83 − 1.629·5.5 = 41.88

ŷ = 41.88 + 1.629·x

예측값

ŷ = 41.88 + 1.629·5.5 = 50.83

잔차

e = 56 − 50.83 = 5.167

답

e = 5.167

점이 직선 위쪽에 있습니다.

15.카이제곱 검정

답: E = 43.36

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

E = 89·76/156 = 43.36

답

E = 43.36

16.카이제곱 검정

답: χ² = 12.15

기대 도수

공장 A: 48, 32

공장 B: 24, 16

공장 C: 60, 40

카이제곱 통계량

χ² = (36 − 48)²/48 + (44 − 32)²/32 + (29 − 24)²/24 + (11 − 16)²/16 + (67 − 60)²/60 + (33 − 40)²/40

χ² = 12.15

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 9.210

12.15 > 9.210

답

χ² = 12.15

χ²이 임곗값보다 크므로 H₀을 기각합니다. 두 변수는 관련이 있는 것으로 보입니다.

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