심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

내적 타당도란 무엇을 말합니까?

A참가자가 연구를 흥미롭다고 느꼈는지
B결과가 다른 모집단, 상황, 시점으로 연구를 넘어 일반화되는지
C관찰된 효과가 다른 요인이 아니라 정말 독립변수 때문에 생겼는지
D검사가 시간에 걸쳐 같은 결과를 주는지

2.심리학 연구 방법어려움

연구자가 아이스크림 판매량과 익사 사망이 정적 상관이 있음을 발견합니다. 가장 그럴듯한 설명은 무엇입니까?

A익사가 아이스크림 판매를 늘린다
B그 상관은 틀림없이 계산 오류이다
C더운 날씨가 아이스크림 판매와 수영을 모두 늘린다
D아이스크림이 익사를 일으킨다

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 39, 16, 44, 39, 46, 58.

n = 6

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 60, 표준편차 8인 정규분포를 따릅니다. 53.6보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 60σ = 8x = 53.6

P =

5.확률보통

공정한 주사위를 6번 던집니다. 6이 적어도 한 번 나올 확률 P는 얼마일까요?

n = 6

P =

6.확률어려움

X의 분포가 표와 같고 Y = −2X + 10입니다. Y의 표준편차 σ_Y을(를) 구하시오.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.2, 0.3, 0.35, 0.15Y = −2X + 10

σ_Y =

7.정규분포보통

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 174.5에서 186.4 cm 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 178σ = 7x₁ = 174.5x₂ = 186.4

P =

8.정규분포어려움

1번 라인 제품의 질량 X와 2번 라인 제품의 질량 Y은(는) 독립이며 정규분포를 따릅니다. X는 평균 500 g, 표준편차 8 g이고 Y는 평균 490 g, 표준편차 6 g입니다. X가 Y보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

9.신뢰구간보통

두 휴대전화 모델의 배터리 수명을 비교한다. 모델 1: 휴대전화 40대, 평균 79.5 h, 알려진 표준 편차 20 h. 모델 2: 휴대전화 40대, 평균 90 h, 알려진 표준 편차 5 h. μ₁ − μ₂에 대한 99% 신뢰구간의 하한을 구하시오.

n₁ = 40x̄₁ = 79.5 hσ₁ = 20 hn₂ = 40x̄₂ = 90 hσ₂ = 5 h99%

하한 = h

10.신뢰구간어려움

두 비료를 시험한다. 구획 집단 1: 5개 구획, 평균 수확량 83 kg, 표준 편차 1 kg. 구획 집단 2: 7개 구획, 평균 71.5 kg, 표준 편차 7.5 kg. 분산이 같다고 가정한다(합동 t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂에 대한 90% 신뢰구간의 상한을 구하시오.

n₁ = 5x̄₁ = 83s₁ = 1n₂ = 7x̄₂ = 71.5s₂ = 7.590%t(10) = 1.812

상한 = kg

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 36명 표본의 평균 점수는 120.5, 표본 표준편차는 4입니다. H₀: μ = 120에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 120x̄ = 120.5s = 4n = 36

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 3 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 12입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.

σ = 12E = 390%

n =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 6

r² =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 97을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 6ŷ = 97

x =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1002 × 3

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

행 2개, 열 11개(합계 제외)인 분할표로 카이제곱 독립성 검정을 합니다. 이 검정의 자유도 df은(는) 얼마인가요?

2 × 11

df =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: C · 관찰된 효과가 다른 요인이 아니라 정말 독립변수 때문에 생겼는지

이것이 답인 이유

내적 타당도가 높다는 것은 혼입, 요구 특성, 실험자 편향 같은 대안적 설명이 배제되었다는 뜻입니다. 외적 타당도는 일반화에 관한 것입니다.

답

C · 관찰된 효과가 다른 요인이 아니라 정말 독립변수 때문에 생겼는지

2.심리학 연구 방법

답: C · 더운 날씨가 아이스크림 판매와 수영을 모두 늘린다

이것이 답인 이유

제3의 변수인 기온이 둘 다를 일으킵니다. 이는 상관만으로는 인과를 보여 줄 수 없는 이유를 보여 줍니다.

답

C · 더운 날씨가 아이스크림 판매와 수영을 모두 늘린다

3.기술통계

답: s = 13.81

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 242/6 = 40.33

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−1.333)² + (−24.33)² + 3.667² + (−1.333)² + 5.667² + 17.67² = 953.3

표준편차

s = √(953.3/5) = 13.81

답

s = 13.81

4.기술통계

답: P = 0.2119

표준화하기

z = −0.8

표준정규분포표

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 0.2119

답

P = 0.2119

5.확률

답: P = 0.6651

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

여사건

P(6이 안 나옴) = (5/6)⁶ = 0.3349

P = 1 − 0.3349 = 0.6651

답

P = 0.6651

6.확률

답: σ_Y = 3.894

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

X의 퍼짐

μ = 2.9, Var(X) = 3.79, σ_X = 1.947

일차 변환

σ_Y = |−2|·1.947 = 3.894

답

σ_Y = 3.894

평균은 실제로 이동합니다: E(Y) = −2·2.9 + 10 = 4.2.

7.정규분포

답: P = 0.5764

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (174.5 − 178)/7 = −0.5

z₂ = (186.4 − 178)/7 = 1.2

사이의 넓이

P = Φ(1.2) − Φ(−0.5) = 0.8849 − 0.3085 = 0.5764

답

P = 0.5764

8.정규분포

답: P = 0.8413

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

차의 분포

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

표준화하기

z = (0 − 10)/10 = −1

확률

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

답

P = 0.8413

9.신뢰구간

답: 하한 = −18.9 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

점추정값

x̄₁ − x̄₂ = 79.5 − 90 = −10.5

표준오차

SE = √(20²/40 + 5²/40) = 3.26

오차 한계

E = 2.576·3.26 = 8.397

구간

−10.5 ± 8.397 → [−18.9, −2.103]

답

하한 = −18.9 h

구간이 0을 포함하지 않으므로 두 평균은 유의하게 다릅니다.

10.신뢰구간

답: 상한 = 17.7 kg

합동 표준 편차

s_p² = (4·1² + 6·7.5²)/10 = 34.15

s_p = 5.844

오차 한계

E = 1.812·5.844·√(1/5 + 1/7) = 6.2

구간

11.5 ± 6.2 → [5.3, 17.7]

답

상한 = 17.7 kg

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 0.75

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 4/√36 = 4/6 = 0.6667

검정통계량

t = (120.5 − 120)/0.6667 = 0.75

답

t = 0.75

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| < 2.03이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 44

n에 대해 풀기

n = (1.645·12/3)² = 43.3

올림하기

n = 44

답

n = 44

13.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9826

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 481/6 = 80.17

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 339

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1671

결정계수

r² = 339²/(70·1671) = 0.9826

답

r² = 0.9826

y의 변동 중 약 98.26%가 직선으로 설명됩니다.

14.선형 회귀와 상관

답: x = 19.58

평균

x̄ = 135/6 = 22.5

ȳ = 691/6 = 115.2

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 979.5

회귀직선

b = 979.5/157.5 = 6.219

a = 115.2 − 6.219·22.5 = −24.76

ŷ = −24.76 + 6.219·x

x 구하기

x = (97 − (−24.76))/6.219 = 19.58

답

x = 19.58

15.카이제곱 검정

답: χ² = 2.571

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

도시: 40·25/100 = 10, 40·35/100 = 14, 40·40/100 = 16

농촌: 60·25/100 = 15, 60·35/100 = 21, 60·40/100 = 24

카이제곱 통계량

χ² = (13 − 10)²/10 + (11 − 14)²/14 + (16 − 16)²/16 + (12 − 15)²/15 + (24 − 21)²/21 + (24 − 24)²/24

χ² = 2.571

답

χ² = 2.571

df = 2. α = 0.05에서 임곗값은 5.991이므로 H₀(독립)은 기각되지 않습니다.

16.카이제곱 검정

답: df = 10

자유도

df = (2 − 1)·(11 − 1) = 10

답

df = 10

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