심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

정규분포에서 점수의 약 몇 %가 평균으로부터 1 표준편차 이내에 있습니까?

A99.7%
B95%
C68%
D50%

2.심리학 연구 방법어려움

질적 연구에서 성찰성(reflexivity)이란 연구자가 무엇을 하는 것입니까?

A편향을 없애기 위해 무선 표본을 사용한다
B신뢰도를 확인하기 위해 연구를 반복한다
C주제를 수치 자료로 바꾼다
D자신의 배경과 가정이 분석을 어떻게 형성할 수 있는지 성찰한다

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 33, 31, 58, 33, 46.

n = 5

s =

4.기술통계어려움

시험 점수는 평균 50, 표준편차 12인 정규분포를 따릅니다. 26점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 50σ = 12x = 26

z =

5.확률보통

표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.2, 0.25, 0.25, 0.3

σ =

6.확률어려움

X의 분포가 표와 같고 Y = 2X − 3입니다. Y의 표준편차 σ_Y을(를) 구하시오.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.1, 0.35, 0.3Y = 2X − 3

σ_Y =

7.정규분포보통

X는 평균 12 min, 표준편차 1.5 min인 정규분포를 따르고, Y는 독립이며 평균 20 min, 표준편차 2 min인 정규분포를 따릅니다. X + Y가 35.8 min보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 35.8 min

P =

8.정규분포어려움

주자 A의 한 바퀴 시간 X와 주자 B의 한 바퀴 시간 Y은(는) 독립이며 정규분포를 따릅니다. X는 평균 52 s, 표준편차 4 s이고 Y는 평균 48 s, 표준편차 3 s입니다. X가 Y보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.신뢰구간보통

두 휴대전화 모델의 배터리 수명을 비교한다. 모델 1: 휴대전화 50대, 평균 117.5 h, 알려진 표준 편차 12 h. 모델 2: 휴대전화 100대, 평균 122 h, 알려진 표준 편차 12 h. μ₁ − μ₂에 대한 90% 신뢰구간의 상한을 구하시오.

n₁ = 50x̄₁ = 117.5 hσ₁ = 12 hn₂ = 100x̄₂ = 122 hσ₂ = 12 h90%

상한 = h

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 13입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 0.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 13E = 0.590%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

모집단의 평균은 50이라고 주장되며, 모집단의 표준 편차는 24로 알려져 있다. 관측값 36개의 확률 표본의 평균은 41.84이다. H₀: μ = 50 대 H₁: μ ≠ 50을(를) 검정하시오. p값 p을(를) 구하시오.

μ₀ = 50σ = 24n = 36x̄ = 41.84H₁: μ ≠ μ₀

p =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 3 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 12입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.

σ = 12E = 390%

n =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 5

r² =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 20을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 5ŷ = 20

x =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “주간 근무, 결함 없음”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.

행 합계 = 96열 합계 = 73N = 208

E =

16.카이제곱 검정어려움

행 2개, 열 6개(합계 제외)인 분할표로 카이제곱 독립성 검정을 합니다. 이 검정의 자유도 df은(는) 얼마인가요?

2 × 6

df =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: C · 68%

이것이 답인 이유

점수의 약 68%가 ±1 SD, 약 95%가 ±2 SD, 약 99.7%가 ±3 SD 이내에 있습니다.

답

C · 68%

2.심리학 연구 방법

답: D · 자신의 배경과 가정이 분석을 어떻게 형성할 수 있는지 성찰한다

이것이 답인 이유

성찰성은 자료 수집과 해석에 대한 연구자의 영향을 인정하는 것이며, 질적 연구의 핵심 질 기준입니다.

답

D · 자신의 배경과 가정이 분석을 어떻게 형성할 수 있는지 성찰한다

3.기술통계

답: s = 11.61

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 201/5 = 40.2

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−7.2)² + (−9.2)² + 17.8² + (−7.2)² + 5.8² = 538.8

표준편차

s = √(538.8/4) = 11.61

답

s = 11.61

4.기술통계

답: z = −2

표준화하기

z = (26 − 50)/12 = −2

답

z = −2

5.확률

답: σ = 1.108

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.2 + 1·0.25 + 2·0.25 + 3·0.3 = 1.65

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.2 + 1·0.25 + 4·0.25 + 9·0.3 = 3.95

분산

Var(X) = 3.95 − 1.65² = 1.228

σ = √1.228 = 1.108

답

σ = 1.108

6.확률

답: σ_Y = 2.289

X의 퍼짐

μ = 2.7, Var(X) = 1.31, σ_X = 1.145

일차 변환

σ_Y = |2|·1.145 = 2.289

답

σ_Y = 2.289

평균은 실제로 이동합니다: E(Y) = 2·2.7 − 3 = 2.4.

7.정규분포

답: P = 0.06426

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합의 분포

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

표준화하기

z = (35.8 − 32)/2.5 = 1.52

위쪽 꼬리

P = 1 − Φ(1.52) = 1 − 0.9357 = 0.06426

답

P = 0.06426

8.정규분포

답: P = 0.7881

차의 분포

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

표준화하기

z = (0 − 4)/5 = −0.8

확률

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

답

P = 0.7881

9.신뢰구간

답: 상한 = −1.081 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

점추정값

x̄₁ − x̄₂ = 117.5 − 122 = −4.5

표준오차

SE = √(12²/50 + 12²/100) = 2.078

오차 한계

E = 1.645·2.078 = 3.419

구간

−4.5 ± 3.419 → [−7.919, −1.081]

답

상한 = −1.081 h

구간이 0을 포함하지 않으므로 두 평균은 유의하게 다릅니다.

10.신뢰구간

답: n = 1830

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = (1.645·13/0.5)² = 1829

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 1830

답

n = 1830

11.가설 검정과 신뢰구간

답: p = 0.04135

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

검정통계량

SE = σ/√n = 24/√36 = 4

z = (41.84 − 50)/4 = −2.04

꼬리 면적

Φ(2.04) = 0.9793

1 − Φ(2.04) = 0.0207

p값

p = 2·0.0207 = 0.04135

답

p = 0.04135

p ≤ 0.05이므로 5% 수준에서 H₀를 기각합니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 44

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

n에 대해 풀기

n = (1.645·12/3)² = 43.3

올림하기

n = 44

답

n = 44

13.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9259

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 48/5 = 9.6

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 97.2

결정계수

r² = 60²/(40·97.2) = 0.9259

답

r² = 0.9259

y의 변동 중 약 92.59%가 직선으로 설명됩니다.

14.선형 회귀와 상관

답: x = 2.417

평균

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 93/5 = 18.6

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24

회귀직선

b = −24/10 = −2.4

a = 18.6 − (−2.4)·3 = 25.8

ŷ = 25.8 − 2.4·x

x 구하기

x = (20 − 25.8)/(−2.4) = 2.417

답

x = 2.417

15.카이제곱 검정

답: E = 33.69

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

E = 96·73/208 = 33.69

답

E = 33.69

16.카이제곱 검정

답: df = 5

자유도

df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5

답

df = 5

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