신호 및 시스템: 벼락치기 팩

연속 합성곱: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. h를 뒤집어 위치 t까지 밀고 겹치는 부분의 곱을 적분합니다. 인과 신호에서는 적분 구간이 0에서 t까지입니다. 유용한 결과: y의 면적은 x의 면적과 h의 면적의 곱입니다. x가 t₁부터 t₂까지, h가 t₃부터 t₄까지 지속되면 y는 t₁ + t₃부터 t₂ + t₄까지 지속됩니다. h(t) = e^−atu(t)이고 높이 A의 계단 입력이면 y(t) = (A/a)(1 − e^−at)입니다.

임펄스 응답과 푸리에 급수: 임펄스 응답 h(t)는 LTI 시스템을 완전히 기술합니다. y′ + a·y = b·x에서는 h(t) = b·e^−atu(t)이고, y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n]에서는 h[n] = b·aⁿu[n]입니다. 정현파 cos ωt는 이득 |H(jω)|와 위상 ∠H(jω)를 받으며 통과합니다. 여기서 H는 h의 푸리에 변환입니다. 주기 신호는 k/T의 고조파들의 합입니다. ±A의 구형파는 홀수 고조파만 가지며 진폭이 4A/(kπ)이고, 최댓값 A의 삼각파는 8A/(π²k²), 높이 A이고 듀티비 D인 펄스열은 평균이 A·D이며 고조파가 (2A/(kπ))·|sin(kπD)|입니다.

라플라스 변환: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt는 미분을 s의 곱셈으로 바꿉니다: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). 기본 변환쌍: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²)이며, s → s + σ로 이동하면 시간 함수에 e^−σt가 곱해집니다. 유리 함수 F(s)를 역변환하려면 부분분수로 나눕니다. 단순 극점 p의 유수는 A = [(s − p)·F(s)] (s = p에서)입니다. 최종값 정리: f(∞) = lim_s→0 s·F(s). s·F(s)의 모든 극점이 좌반평면에 있을 때만 성립합니다. 초깃값 정리: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).

라플라스 변환: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt는 미분을 s의 곱셈으로 바꿉니다: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). 기본 변환쌍: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²)이며, s → s + σ로 이동하면 시간 함수에 e^−σt가 곱해집니다. 유리 함수 F(s)를 역변환하려면 부분분수로 나눕니다. 단순 극점 p의 유수는 A = [(s − p)·F(s)] (s = p에서)입니다. 최종값 정리: f(∞) = lim_s→0 s·F(s). s·F(s)의 모든 극점이 좌반평면에 있을 때만 성립합니다. 초깃값 정리: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).

계단 응답: 1차 시스템 G(s) = K/(τs + 1)은 크기 U의 계단에 y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ)로 응답합니다. 시정수 τ 후에 최종값 K·U의 63.2 %에, 4τ 후에 98 %에 도달합니다. 2차 시스템 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²)는 극점 s = −ζωₙ ± jω_d를 가지며 ω_d = ωₙ√(1 − ζ²)입니다. 0 < ζ < 1이면 계단 응답에 오버슈트가 생깁니다. 백분율 오버슈트 %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, 피크 시간 t_p = π/ω_d, 2 % 정착 시간 t_s ≈ 4/(ζωₙ). 분모를 s² + 2ζωₙs + ωₙ²과 비교하여 ωₙ과 ζ를 읽어 내세요. 질량-스프링-댐퍼에서는 ωₙ = √(k/m), ζ = c/(2√(km))이고, 직렬 RLC 회로에서는 ωₙ = 1/√(LC), ζ = (R/2)·√(C/L)입니다.

계단 응답: 1차 시스템 G(s) = K/(τs + 1)은 크기 U의 계단에 y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ)로 응답합니다. 시정수 τ 후에 최종값 K·U의 63.2 %에, 4τ 후에 98 %에 도달합니다. 2차 시스템 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²)는 극점 s = −ζωₙ ± jω_d를 가지며 ω_d = ωₙ√(1 − ζ²)입니다. 0 < ζ < 1이면 계단 응답에 오버슈트가 생깁니다. 백분율 오버슈트 %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, 피크 시간 t_p = π/ω_d, 2 % 정착 시간 t_s ≈ 4/(ζωₙ). 분모를 s² + 2ζωₙs + ωₙ²과 비교하여 ωₙ과 ζ를 읽어 내세요. 질량-스프링-댐퍼에서는 ωₙ = √(k/m), ζ = c/(2√(km))이고, 직렬 RLC 회로에서는 ωₙ = 1/√(LC), ζ = (R/2)·√(C/L)입니다.

주파수 응답: 전달함수에 s = jω를 대입하세요. 데시벨 크기는 20·log₁₀|H(jω)|이고 위상은 분자 인수들의 각도의 합에서 분모 인수들의 각도를 뺀 값입니다. 1차 RC 또는 RL 필터의 차단(−3 dB) 주파수는 ω_c = 1/(RC) 또는 R/L이며 f_c = ω_c/(2π)입니다. 저역 통과 필터는 |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²)와 φ = −atan(ω/ω_c)를 줍니다. 점근(직선) 보드 선도에서 각 극점은 차단 주파수에서 크기를 10배 주파수당 20 dB씩 아래로 꺾고, 각 영점은 10배 주파수당 20 dB씩 위로 꺾으며, 적분기 1/s는 모든 주파수에서 −20 dB/decade를 줍니다. 이득 교차 주파수 ω_c: |L(jω)| = 1(0 dB); 위상 여유 PM = 180° + ∠L(jω_c). 위상 교차 주파수 ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; 이득 여유 GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. 두 여유가 모두 양수이면 폐루프는 안정합니다.

주파수 응답: 전달함수에 s = jω를 대입하세요. 데시벨 크기는 20·log₁₀|H(jω)|이고 위상은 분자 인수들의 각도의 합에서 분모 인수들의 각도를 뺀 값입니다. 1차 RC 또는 RL 필터의 차단(−3 dB) 주파수는 ω_c = 1/(RC) 또는 R/L이며 f_c = ω_c/(2π)입니다. 저역 통과 필터는 |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²)와 φ = −atan(ω/ω_c)를 줍니다. 점근(직선) 보드 선도에서 각 극점은 차단 주파수에서 크기를 10배 주파수당 20 dB씩 아래로 꺾고, 각 영점은 10배 주파수당 20 dB씩 위로 꺾으며, 적분기 1/s는 모든 주파수에서 −20 dB/decade를 줍니다. 이득 교차 주파수 ω_c: |L(jω)| = 1(0 dB); 위상 여유 PM = 180° + ∠L(jω_c). 위상 교차 주파수 ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; 이득 여유 GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. 두 여유가 모두 양수이면 폐루프는 안정합니다.