그림의 A형 프레임은 A의 핀과 B의 롤러 위에 서 있으며 둘 사이는 3.2 m입니다. 두 다리는 높이 4 m의 핀 C에서 만나고, 수평 타이 DE는 지면 위 2 m에 있습니다. C에 5 kN의 하중이 작용합니다. 핀 C가 다리 BC에 가하는 힘의 크기 C을(를) 구하시오.
P = 5 kNAB = 3.2 mC의 높이 = 4 mDE의 높이 = 2 m
C = kN
8.프레임과 기계어려움
그림의 A형 프레임은 A의 핀과 B의 롤러 위에 서 있으며 둘 사이는 6 m입니다. 두 다리는 높이 2.4 m의 핀 C에서 만나고, 높이 0.8 m의 수평 막대 DE로 묶여 있습니다. C에 오른쪽으로 향하는 20 kN의 수평 힘이 작용합니다. 타이의 장력 T을(를) 구하시오.
P = 20 kNAB = 6 mC의 높이 = 2.4 mDE의 높이 = 0.8 m
T = kN
9.전단력과 휨 모멘트보통
지점 A에서 x = 4 m인 단면의 전단력 Vx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 5 mw = 5 kN/m, 0부터 5 m까지x = 4 m
Vx = kN
10.전단력과 휨 모멘트어려움
지점 A에서 x = 1.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 8 mP = 40 kN 위치 6 mw = 8 kN/m, 0부터 8 m까지x = 1.5 m
Mx = kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
100 mm × 150 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 30 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 105 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 100 mmh = 150 mmd = 30 mm구멍 중심: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 160 mm, 두께 16 mm이고, 전체 높이는 420 mm, 웨브 두께는 10 mm이다. 축 x에 대해 휨 모멘트 80 kN·m을(를) 받는다. 단면의 최대 휨 응력 크기 σmax을(를) 구하시오.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
내적
a·b = 0·(−4) + 4·(−1) + 4·(−2) = −12
크기들
|a| = √(0² + 4² + 4²) = 5.657
|b| = √((−4)² + (−1)² + (−2)²) = 4.583
위상각
cos θ = −12/(5.657·4.583) = −0.4629
θ = arccos(−0.4629) = 117.6°
답
θ = 117.6°
2.벡터: 내적과 외적
답: |M| = 454.4 N·m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.
자유물체도
지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
ΣMA = 0: RB·5 = 25·3 + 30·3.5
RB = 180/5 = 36 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 36 = 19 kN
답
RB = 36 kN
4.보의 지점 반력
답: RB = 19.75 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.
자유물체도
지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 8·1 = 8 kN, 작용점 x̄ = 0.5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 50·1.5 + 8·1·0.5
RB = 79/4 = 19.75 kN
ΣFy = 0: RA = 58 − 19.75 = 38.25 kN
답
RB = 19.75 kN
5.트러스: 절점법
답: FAB = −23.44 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·8 = 30·3 → Cy = 11.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 11.25 = 18.75 kN
절점 A
모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.
sin α = 4/5 = 0.8
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −18.75/0.8 = −23.44 kN
답
FAB = −23.44 kN (압축)
6.트러스: 절점법
답: FAB = −62.19 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·5 = 55·1 − 25·3 → Cy = −4 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − −4 = 59 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN
절점 A
모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.
sin α = 3/3.162 = 0.9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −59/0.9487 = −62.19 kN
답
FAB = −62.19 kN (압축)
7.프레임과 기계
답: C = 3.202 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
다리 BC로부터 구한 타이 힘
By = 2.5 kN
T = 2.5·1.6/2 = 2 kN
BC에 작용하는 핀 힘의 성분
Cx = T = 2 kN, Cy = −By = −2.5 kN
크기
C = √(2² + 2.5²) = 3.202 kN
답
C = 3.202 kN
8.프레임과 기계
답: T = 15 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
프레임 전체: A에 대한 모멘트
By·6 = 20·2.4
By = 8 kN
다리 BC: C에 대한 모멘트
8·3 = T·1.6
T = 15 kN
답
T = 15 kN
T가 양수이면 타이는 가정한 대로 인장을 받습니다.
9.전단력과 휨 모멘트
답: Vx = −7.5 kN
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 5·5·2.5
RB = 62.5/5 = 12.5 kN
ΣFy = 0: RA = 25 − 12.5 = 12.5 kN
x = 4 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
V = RA − (절단면 왼쪽의 모든 아래 방향 하중)
Vx = 12.5 − 5·4 = −7.5 kN
답
Vx = −7.5 kN
10.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 54 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 40·6 + 8·8·4
RB = 496/8 = 62 kN
ΣFy = 0: RA = 104 − 62 = 42 kN
x = 1.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 42·1.5 − 8·1.5·0.75 = 54 kN·m
답
Mx = 54 kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 27.42 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (15000·75 − 706.9·105)/(15000 − 706.9) = 73.52 mm
ȳ에 대한 전체 판
100·150³/12 + 15000·1.484² = 28.16 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
π·30⁴/64 + 706.9·31.48² = 0.7404 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 27.42 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 27.42 × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트
답: σmax = 65.19 MPa
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개
두 빈 부분을 합치면 폭 (B − tw), 높이 hw = H − 2tf이며, 축 x를 공유합니다.