그림의 A형 프레임은 A의 핀과 B의 롤러 위에 서 있으며 둘 사이는 2 m입니다. 두 다리는 높이 2 m의 핀 C에서 만나고, 수평 타이 DE는 지면 위 0.8 m에 있습니다. C에 12 kN의 하중이 작용합니다. 핀 C가 다리 BC에 가하는 힘의 크기 C을(를) 구하시오.
P = 12 kNAB = 2 mC의 높이 = 2 mDE의 높이 = 0.8 m
C = kN
8.프레임과 기계어려움
토글 프레스에 핀 사이 길이가 각각 80 mm인 같은 링크 AB와 BC가 있습니다. 이음부 B는 선 AC 위 10 mm에 있습니다. 슬라이더 C에서 2000 N의 수평 압력을 내려면 B에 가하는 아래 방향 힘 F은(는) 얼마여야 합니까? 마찰과 자중은 무시합니다.
Q = 2000 NAB = BC = 80 mmh = 10 mm
F = N
9.전단력과 휨 모멘트보통
캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 1.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 휨 모멘트 MA을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 5 mP = 10 kN 위치 1.5 mw = 8 kN/m, 0부터 5 m까지
MA = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
지점 A에서 x = 1 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 8 mP = 15 kN 위치 1 mw = 10 kN/m, 0부터 8 m까지x = 1 m
Mx = kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
bf = 200 mmtf = 30 mmtw = 12 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 30 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ위의 크기를 구하시오.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
내적
a·b = 1·(−2) + (−6)·(−5) + 4·(−3) = 16
b의 길이
|b| = √((−2)² + (−5)² + (−3)²) = 6.164
스칼라 투영
compb a = a·b/|b| = 16/6.164 = 2.596
답
compb a = 2.596
2.벡터: 내적과 외적
답: A = 4.153 m²
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.
자유물체도
지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
ΣMA = 0: RB·4 = 30·1 + 30·3
RB = 120/4 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
답
RA = 30 kN
4.보의 지점 반력
답: RB = 32.5 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.
자유물체도
지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·4 = 40·2.5 + 5·2·3
RB = 130/4 = 32.5 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 32.5 = 17.5 kN
답
RB = 32.5 kN
5.트러스: 절점법
답: 부재 CG
영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.
절점 C
BC과 CD은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 CG만 남습니다.
영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.
절점 G
FG과 GH은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 CG만 남습니다.
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
다리 BC로부터 구한 타이 힘
By = 6 kN
T = 6·1/1.2 = 5 kN
BC에 작용하는 핀 힘의 성분
Cx = T = 5 kN, Cy = −By = −6 kN
크기
C = √(5² + 6²) = 7.81 kN
답
C = 7.81 kN
8.프레임과 기계
답: F = 504 N
기계: 펜치, 레버, 링크 기구, 클램프는 입력 힘을 더 큰 힘이나 다른 방향의 출력 힘으로 바꿉니다. 한 부품을 자유물체로 그리고 회전축에 대해 모멘트를 취하세요: 핀 힘은 사라지고, Fin·a = Fout·b에서 기계적 이득 a/b가 나옵니다. 핀 힘은 같은 부품에 ΣF = 0을 적용하면 구해집니다. 토글에서는 두 링크가 얕은 각 θ로 만납니다. 각 링크는 2력 부재이므로 이음부의 작은 힘 F가 큰 링크 힘 F/(2 sin θ)와 조임력 F/(2 tan θ)를 만듭니다.
링크 각
sin θ = 10/80 = 0.125, θ = 7.181°
링크 힘
Flink = Q/cos θ = 2016 N
B에서의 힘
F = 2·Flink·sin θ = 2·2000·tan θ = 504 N
답
F = 504 N
9.전단력과 휨 모멘트
답: MA = −115 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
자유단 쪽 부분을 남긴다
P: −10·1.5 = −15 kN·m
w: −8·5²/2 = −100 kN·m
MA = −15 − 100 = −115 kN·m
답
MA = −115 kN·m
음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.
10.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 48.13 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 15·1 + 10·8·4
RB = 335/8 = 41.88 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 41.88 = 53.13 kN
x = 1 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 53.13·1 − 10·1·0.5 = 48.13 kN·m
답
Mx = 48.13 kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 8.71 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 200·30 = 6000 mm², yf = 120 + 30/2 = 135 mm