그림의 벨 크랭크는 핀 O를 중심으로 회전합니다. A(O에서 150 mm)의 120 N 수직 힘이 B(O보다 100 mm 위)의 수평 힘과 평형을 이룹니다. 핀 반력의 크기 FO을(를) 구하시오.
F = 120 NOA = 150 mmOB = 100 mm
FO = N
8.프레임과 기계어려움
무게 3 kN의 균일한 수평 붐 AB가 A에서 벽에 핀으로 연결되어 있고, 끝 B에서 A보다 3 m 위의 벽의 점 C까지 케이블로 지지됩니다. B에 12 kN의 하중이 매달려 있습니다. 케이블의 장력 T을(를) 구하시오.
W = 12 kNWb = 3 kNAB = 3 mAC = 3 m
T = kN
9.전단력과 휨 모멘트보통
단순보에 두 개의 집중 하중이 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.
L = 6 mP1 = 25 kN 위치 1 mP2 = 25 kN 위치 3 m
Mmax = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
지점 A에서 x = 1 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 6 mP = 60 kN 위치 2.5 mw = 12 kN/m, 0부터 6 m까지x = 1 m
Mx = kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
ㄷ형강 단면이 열린 쪽을 위로 하여 놓여 있다. 폭 220 mm의 밑판에 두 개의 세운 다리가 있으며 전체 높이는 170 mm이다. 밑판과 다리의 두께는 모두 10 mm이다. 밑변에서 도심까지의 높이 ȳ을(를) 구하시오.
b = 220 mmh = 170 mmt = 10 mm
ȳ = mm
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
100 mm × 300 mm 판에 폭 40 mm, 높이 20 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 210 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 100 mmh = 300 mm절취부: 40 × 20 mm구멍 중심: y = 210 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3용액
1.벡터: 내적과 외적
답: k = −9
내적:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ는 스칼라입니다. 두 벡터 사이의 각도를 cos θ = a·b/(|a|·|b|)로 구할 수 있고, 두 벡터가 수직이면 0입니다. a를 b 위에 투영한 스칼라 투영은 a·b/|b|이며, 일정한 힘 F가 변위 d만큼 움직이는 동안 한 일은 W = F·d입니다.
내적이 0
a·b = (−5)·6 + (−3)·k + (−3)·(−1) = 0
−27 + (−3)·k = 0
k 구하기
k = −(−27)/(−3) = −9
답
k = −9
2.벡터: 내적과 외적
답: (a × b)z = 60
외적:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)는 두 벡터에 모두 수직이고, |a × b| = |a|·|b|·sin θ는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이입니다(삼각형은 그 절반). 순서가 중요합니다: b × a = −(a × b). 점 A에 작용하는 힘 F의 점 O에 대한 모멘트는 MO = r × F이며, r = A − O입니다.
성분별로 구하는 외적
(a × b)x = aybz − azby = (−5)·2 − (−1)·5 = −5
(a × b)y = azbx − axbz = (−1)·6 − 6·2 = −18
(a × b)z = axby − aybx = 6·5 − (−5)·6 = 60
요청된 성분
(a × b)z = 60
답
(a × b)z = 60
확인: a × b는 두 벡터에 모두 수직이므로, a 및 b와의 내적이 0입니다.
3.보의 지점 반력
답: RA = 50.83 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.
삼각형 하중의 합력
W = ½·20·5 = 50 kN
x̄ = L/3 = 1.667 m
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
ΣMA = 0: RB·5 = 50·1.667 + 25·1.5
RB = 24.17 kN
RA = 75 − 24.17 = 50.83 kN
답
RA = 50.83 kN
4.보의 지점 반력
답: RA = 56.67 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.
분포 하중의 합력
W = 8·5 = 40 kN, x̄ = (3 + 8)/2 = 5.5 m
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
ΣMA = 0: RB·6 = 80·2 + 40·5.5
RB = 380/6 = 63.33 kN
RA = 120 − 63.33 = 56.67 kN
답
RA = 56.67 kN
5.트러스: 절점법
답: FBC = −49.61 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·8 = 55·7 → Cy = 48.13 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 48.13 = 6.875 kN
절점 C
롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.
sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425
영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.
절점 D
CD과 DE은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 DH만 남습니다.
기계: 펜치, 레버, 링크 기구, 클램프는 입력 힘을 더 큰 힘이나 다른 방향의 출력 힘으로 바꿉니다. 한 부품을 자유물체로 그리고 회전축에 대해 모멘트를 취하세요: 핀 힘은 사라지고, Fin·a = Fout·b에서 기계적 이득 a/b가 나옵니다. 핀 힘은 같은 부품에 ΣF = 0을 적용하면 구해집니다. 토글에서는 두 링크가 얕은 각 θ로 만납니다. 각 링크는 2력 부재이므로 이음부의 작은 힘 F가 큰 링크 힘 F/(2 sin θ)와 조임력 F/(2 tan θ)를 만듭니다.
B에서의 힘
Q = 120·150/100 = 180 N
핀 반력
Ox = 180 N, Oy = 120 N
FO = √(180² + 120²) = 216.3 N
답
FO = 216.3 N
8.프레임과 기계
답: T = 19.09 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
케이블 각도
BC = √(3² + 3²) = 4.243 m, sin β = 0.7071
A에 대한 모멘트
T·0.7071·3 = 12·3 + 3·1.5
T = 19.09 kN
답
T = 19.09 kN
9.전단력과 휨 모멘트
답: Mmax = 50 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
ΣMA = 0: RB·6 = 25·1 + 25·3
RB = 100/6 = 16.67 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 16.67 = 33.33 kN
각 하중 아래의 모멘트
각 하중의 왼쪽 부분을 남깁니다.
아래 P1: M = RA·1 = 33.33·1 = 33.33 kN·m
아래 P2: M = RB·3 = 16.67·3 = 50 kN·m
최댓값
Mmax = 50 kN·m (아래 P2)
답
Mmax = 50 kN·m
10.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 65 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·2.5 + 12·6·3
RB = 366/6 = 61 kN
ΣFy = 0: RA = 132 − 61 = 71 kN
x = 1 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 71·1 − 12·1·0.5 = 65 kN·m
답
Mx = 65 kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: ȳ = 55.37 mm
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
직사각형으로 나누기
밑판은 전체 폭으로, 두 다리는 그 위의 높이(h − t)로 잡으면 중복 계산이 없습니다.
기제: A1 = 220·10 = 2200 mm², y1 = 5 mm
두 다리: A2 = 2·10·160 = 3200 mm², y2 = 10 + 160/2 = 90 mm
도심
ȳ = (2200·5 + 3200·90)/5400 = 55.37 mm
답
ȳ = 55.37 mm
12.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 222 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (30000·150 − 800·210)/(30000 − 800) = 148.4 mm