모든 벡터를 성분으로 쓰세요. 크기와 각도로 주어진 힘은 F·cos θ와 F·sin θ를 쓰세요.
길이와 방향에는 크기 √(x² + y² + z²)와 단위 벡터 a/|a|를 쓰세요.
각도, 투영, 수직 여부, 일에는 내적을 쓰세요: a·b = |a||b|cos θ.
수직 벡터, 넓이, 모멘트에는 외적을 쓰세요. 세 성분을 조심스럽게 쓰고 순서 a × b를 지키세요.
보의 지점 반력
평형
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
등분포 하중
합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트
M = F·d
방법
자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
ΣFy = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.
트러스: 절점법
절점법
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
단면법
ΣM = 0 about a cut point
부재력
양수 = 인장, 음수 = 압축
방법
트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣFx = 0과 ΣFy = 0을 쓰세요.
단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.
프레임과 기계
각 부재의 평형
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
2력 부재
두 핀을 잇는 직선을 따르는 힘
핀 힘
연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대
핀 힘의 크기
F = √(Fx² + Fy²)
레버, 펜치, 벨 크랭크
Fin·a = Fout·b
토글
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
등분포 하중
합력 w·L이 하중 중앙에 작용
방법
구조 전체를 그리고, 미지수가 3개 이하이면 지점 반력을 구하시오.
2력 부재를 찾으세요: 두 핀에만 하중을 받으므로 그 힘은 두 핀을 잇는 직선을 따릅니다.
프레임을 분해하고 각 부재를 따로 그리세요. 부재가 만나는 곳에서는 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그립니다.
각 부재에 대해 미지의 힘이 작용하는 핀에 대해 모멘트를 취한 다음 ΣFx = 0과 ΣFy = 0을 쓰세요. 성분은 마지막에 합쳐 크기로 만듭니다.
전단력과 휨 모멘트
전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8
방법
보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2연습 문제
1.벡터: 내적과 외적보통
일정한 힘 F = (25, −30, 0) N이 물체에 작용하는 동안, 물체가 점 A(3, −4, 2)에서 점 B(−4, −4, 4)까지 직선으로 움직인다. 좌표의 단위는 미터이다. 이 힘이 한 일 W을(를) 구하시오.
F = (25, −30, 0) NA(3, −4, 2) mB(−4, −4, 4) m
W = J
2.벡터: 내적과 외적어려움
한 꼭짓점에서 나오는 모서리가 a = (−4, 5, 5), b = (−5, −1, 5), c = (−4, −4, −3)인 평행육면체의 부피 V을(를) 구하시오.
a = (−4, 5, 5)b = (−5, −1, 5)c = (−4, −4, −3)
V =
3.보의 지점 반력보통
캔틸레버 보는 A에서 벽에 고정되어 있다. 벽에서 2.5 m까지 등분포 하중 w가 작용하고, 벽에서 3 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 벽의 반력 모멘트 크기 MA을(를) 구하시오.
L = 4 mP = 70 kN 위치 3 mw = 12 kN/m, 0부터 2.5 m까지
MA = kN·m
4.보의 지점 반력어려움
겔버보는 A에서 벽에 고정되어 있고, C(A에서 4 m)에 내부 힌지가 있으며, D(A에서 8 m)의 롤러 위에 놓여 있다. 하중은 A에서 6 m 떨어진 곳의 집중 하중 P, CD 전체의 등분포 하중 w 그리고 A에서 3 m 떨어진 곳의 집중 하중 Q이다. 롤러의 반력 RD을(를) 구하시오.
AC = 4 mAD = 8 mP = 20 kN 위치 6 mw = 6 kN/m, 4부터 8 m까지Q = 65 kN 위치 3 m
그림의 프레임에는 A, B, C에 핀이 있습니다. A와 C는 5 m 떨어져 지면에 고정되어 있고, B는 지면 위 2.5 m, A의 오른쪽 3 m에 있습니다. 부재 AB 위의 K에 4 kN의 수직 하중이 작용하며 K는 A에서 (수평으로) 1.8 m 떨어져 있습니다. 부재 BC의 힘 FBC을(를) 구하시오.
P = 4 kNL = 5 mH = 2.5 mA에서 B까지의 수평 거리 = 3 mA에서 K까지의 수평 거리 = 1.8 m
FBC = kN
8.프레임과 기계어려움
토글 프레스에 핀 사이 길이가 각각 80 mm인 같은 링크 AB와 BC가 있습니다. 이음부 B는 선 AC 위 5 mm에 있습니다. 슬라이더 C에서 1500 N의 수평 압력을 내려면 B에 가하는 아래 방향 힘 F은(는) 얼마여야 합니까? 마찰과 자중은 무시합니다.
Q = 1500 NAB = BC = 80 mmh = 5 mm
F = N
9.전단력과 휨 모멘트보통
지점 A에서 x = 3 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 4 mw = 12 kN/m, 0부터 4 m까지x = 3 m
Mx = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용하고 집중 하중 P도 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.
L = 6 mP = 15 kN 위치 4 mw = 12 kN/m, 0부터 6 m까지
Mmax = kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
bf = 120 mmtf = 15 mmtw = 10 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
용접 I형 단면의 상부 플랜지는 110 × 22 mm, 웨브는 높이 260 mm, 두께 12 mm, 하부 플랜지는 220 × 12 mm(폭 × 두께)이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
내적:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ는 스칼라입니다. 두 벡터 사이의 각도를 cos θ = a·b/(|a|·|b|)로 구할 수 있고, 두 벡터가 수직이면 0입니다. a를 b 위에 투영한 스칼라 투영은 a·b/|b|이며, 일정한 힘 F가 변위 d만큼 움직이는 동안 한 일은 W = F·d입니다.
변위
d = B − A = (−4, −4, 4) − (3, −4, 2) = (−7, 0, 2) m
일
W = F·d = 25·(−7) + (−30)·0 + 0·2 = −175 J
답
W = −175 J
음의 일: 힘이 대부분 운동에 반대로 작용합니다.
2.벡터: 내적과 외적
답: V = 187
외적:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)는 두 벡터에 모두 수직이고, |a × b| = |a|·|b|·sin θ는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이입니다(삼각형은 그 절반). 순서가 중요합니다: b × a = −(a × b). 점 A에 작용하는 힘 F의 점 O에 대한 모멘트는 MO = r × F이며, r = A − O입니다.
캔틸레버의 평형: 고정 지점은 위로 밀 수 있고 회전에도 저항하므로 연직 반력 RA와 반력 모멘트 MA를 줍니다. ΣFy = 0에서 RA가 나오고, 벽에 대한 모멘트에서 MA = Σ(하중 × 벽으로부터의 거리)가 나옵니다. 분포 하중은 하중도의 도심에 작용하는 합력으로 작용합니다.
분포 하중의 합력
W = 12·2.5 = 30 kN, x̄ = 1.25 m
벽에 대한 모멘트
MA = P·a + W·x̄ = 70·3 + 30·1.25 = 247.5 kN·m
답
MA = 247.5 kN·m
4.보의 지점 반력
답: RD = 22 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요. 내부 힌지는 휨 모멘트를 전달할 수 없으므로 방정식이 하나 더 생깁니다. 어느 한쪽의 힘들의 힌지에 대한 모멘트는 0입니다.
CD 부분
힌지에는 모멘트가 없으므로 CD만의 C에 대한 모멘트가 평형을 이루어야 합니다.
W = 6·4 = 24 kN 위치 2 m 에서 C
ΣMC = 0: RD·4 = 20·2 + 24·2
RD = 22 kN
VC = 44 − 22 = 22 kN
답
RD = 22 kN
5.트러스: 절점법
답: FAC = 10.31 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·4 = 55·3 → Cy = 41.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 41.25 = 13.75 kN
절점 C
롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.
sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
2력 부재 BC
BC = √(2² + 2.5²) = 3.202 m
프레임 전체: A에 대한 모멘트
지면은 C에서 CB를 따라 BC를 밉니다. 그 수평 성분은 A를 지나므로 수직 성분만 모멘트를 가집니다.
FBC·(2.5/3.202)·5 = 4·1.8
FBC = 1.844 kN (압축)
답
FBC = 1.844 kN
8.프레임과 기계
답: F = 187.9 N
기계: 펜치, 레버, 링크 기구, 클램프는 입력 힘을 더 큰 힘이나 다른 방향의 출력 힘으로 바꿉니다. 한 부품을 자유물체로 그리고 회전축에 대해 모멘트를 취하세요: 핀 힘은 사라지고, Fin·a = Fout·b에서 기계적 이득 a/b가 나옵니다. 핀 힘은 같은 부품에 ΣF = 0을 적용하면 구해집니다. 토글에서는 두 링크가 얕은 각 θ로 만납니다. 각 링크는 2력 부재이므로 이음부의 작은 힘 F가 큰 링크 힘 F/(2 sin θ)와 조임력 F/(2 tan θ)를 만듭니다.
링크 각
sin θ = 5/80 = 0.0625, θ = 3.583°
링크 힘
Flink = Q/cos θ = 1503 N
B에서의 힘
F = 2·Flink·sin θ = 2·1500·tan θ = 187.9 N
답
F = 187.9 N
9.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 18 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, 작용점 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 12·4·2
RB = 96/4 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
x = 3 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 24·3 − 12·3·1.5 = 18 kN·m
답
Mx = 18 kN·m
10.전단력과 휨 모멘트
답: Mmax = 70.04 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.