그림의 프레임에는 A, B, C에 핀이 있습니다. A와 C는 6 m 떨어져 지면에 고정되어 있고, B는 지면 위 2.5 m, A의 오른쪽 2.7 m에 있습니다. 부재 AB 위의 K에 6 kN의 수직 하중이 작용하며 K는 A에서 (수평으로) 1.35 m 떨어져 있습니다. 부재 BC의 힘 FBC을(를) 구하시오.
P = 6 kNL = 6 mH = 2.5 mA에서 B까지의 수평 거리 = 2.7 mA에서 K까지의 수평 거리 = 1.35 m
FBC = kN
8.프레임과 기계어려움
그림의 벽 브래킷의 보 AB는 A에서 핀으로 연결되어 있고 지주 CD가 받칩니다(C는 A보다 1.2 m 아래). 보는 전체 길이에 걸쳐 5 kN/m의 등분포 하중과 자유단 B에 3 kN의 집중 하중을 받습니다. 지주의 힘 FCD을(를) 구하시오.
w = 5 kN/mP = 3 kNAD = 0.6 mAB = 2 mAC = 1.2 m
FCD = kN
9.전단력과 휨 모멘트보통
캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 4 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 x = 3 m인 단면에서 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 4 mP = 80 kN 위치 4 mw = 4 kN/m, 0부터 4 m까지x = 3 m
Mx = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
지점 A에서 x = 7 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 10 mP = 60 kN 위치 7 mw = 12 kN/m, 0부터 10 m까지x = 7 m
Mx = kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
bf = 300 mmtf = 15 mmtw = 10 mmhw = 160 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 150 mm, 두께 16 mm이고, 전체 높이는 220 mm, 웨브 두께는 6 mm이다. 축 x에 대해 휨 모멘트 50 kN·m을(를) 받는다. 단면의 최대 휨 응력 크기 σmax을(를) 구하시오.
내적:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ는 스칼라입니다. 두 벡터 사이의 각도를 cos θ = a·b/(|a|·|b|)로 구할 수 있고, 두 벡터가 수직이면 0입니다. a를 b 위에 투영한 스칼라 투영은 a·b/|b|이며, 일정한 힘 F가 변위 d만큼 움직이는 동안 한 일은 W = F·d입니다.
내적
a·b = (−6)·(−6) + (−7)·(−4) + (−3)·2 = 58
b의 길이
|b| = √((−6)² + (−4)² + 2²) = 7.483
스칼라 투영
compb a = a·b/|b| = 58/7.483 = 7.751
답
compb a = 7.751
2.벡터: 내적과 외적
답: (a × b)z = −8
외적:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)는 두 벡터에 모두 수직이고, |a × b| = |a|·|b|·sin θ는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이입니다(삼각형은 그 절반). 순서가 중요합니다: b × a = −(a × b). 점 A에 작용하는 힘 F의 점 O에 대한 모멘트는 MO = r × F이며, r = A − O입니다.
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.
A에 대한 모멘트
반시계 방향을 양으로.
ΣMA = 0: RB·4.5 = 25·2 + 70·6
RB = 470/4.5 = 104.4 kN
연직 방향 평형
RA = 25 + 70 − 104.4 = −9.444 kN
답
RB = 104.4 kN
RA가 음수입니다. A의 힌지가 보를 아래로 붙잡아야 합니다.
4.보의 지점 반력
답: MA = 613.3 kN·m
캔틸레버의 평형: 고정 지점은 위로 밀 수 있고 회전에도 저항하므로 연직 반력 RA와 반력 모멘트 MA를 줍니다. ΣFy = 0에서 RA가 나오고, 벽에 대한 모멘트에서 MA = Σ(하중 × 벽으로부터의 거리)가 나옵니다. 분포 하중은 하중도의 도심에 작용하는 합력으로 작용합니다.
삼각형 하중의 합력
W = ½·20·8 = 80 kN
x̄ = L/3 = 2.667 m
벽에 대한 모멘트
MA = W·x̄ + P·a = 80·2.667 + 80·5 = 613.3 kN·m
답
MA = 613.3 kN·m
5.트러스: 절점법
답: FAB = −33.33 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·6 = 60·4 → Cy = 40 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 40 = 20 kN
절점 A
모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.
sin α = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −20/0.6 = −33.33 kN
답
FAB = −33.33 kN (압축)
6.트러스: 절점법
답: FAB = −1.667 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·5 = 50·4 + 15·3 → Cy = 49 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 49 = 1 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN
절점 A
모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.
sin α = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −1/0.6 = −1.667 kN
답
FAB = −1.667 kN (압축)
7.프레임과 기계
답: FBC = 2.236 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
2력 부재 BC
BC = √(3.3² + 2.5²) = 4.14 m
프레임 전체: A에 대한 모멘트
지면은 C에서 CB를 따라 BC를 밉니다. 그 수평 성분은 A를 지나므로 수직 성분만 모멘트를 가집니다.
FBC·(2.5/4.14)·6 = 6·1.35
FBC = 2.236 kN (압축)
답
FBC = 2.236 kN
8.프레임과 기계
답: FCD = 29.81 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
등분포 하중의 합력
w·L = 5·2 = 10 kN 위치 1 m
보: A에 대한 모멘트
FCD·0.8944·0.6 = 10·1 + 3·2 = 16 kN·m
FCD = 29.81 kN
답
FCD = 29.81 kN
9.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = −82 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
자유단 쪽 부분을 남긴다
P: −80·1 = −80 kN·m
w: −4·1²/2 = −2 kN·m
Mx = −80 − 2 = −82 kN·m
답
Mx = −82 kN·m
음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.
10.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 252 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, 작용점 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 60·7 + 12·10·5
RB = 1020/10 = 102 kN
ΣFy = 0: RA = 180 − 102 = 78 kN
x = 7 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 78·7 − 12·7·3.5 = 252 kN·m
답
Mx = 252 kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 12.53 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 300·15 = 4500 mm², yf = 160 + 15/2 = 167.5 mm