정역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

벡터: 내적과 외적

크기: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
단위 벡터: û = a/|a|
각도에서 성분 구하기: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
내적: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a를 b 위에 투영한 스칼라 투영: a·b/|b|
일: W = F·d
외적: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
넓이: 평행사변형 |a × b|, 삼각형 ½|a × b|
O에 대한 모멘트: M_O = r × F, r = A − O
평행육면체의 부피: V = |a·(b × c)|

방법

모든 벡터를 성분으로 쓰세요. 크기와 각도로 주어진 힘은 F·cos θ와 F·sin θ를 쓰세요.
길이와 방향에는 크기 √(x² + y² + z²)와 단위 벡터 a/|a|를 쓰세요.
각도, 투영, 수직 여부, 일에는 내적을 쓰세요: a·b = |a||b|cos θ.
수직 벡터, 넓이, 모멘트에는 외적을 쓰세요. 세 성분을 조심스럽게 쓰고 순서 a × b를 지키세요.

보의 지점 반력

평형: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
등분포 하중: 합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트: M = F·d

방법

자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
ΣF_y = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

트러스: 절점법

절점법: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
단면법: ΣM = 0 about a cut point
부재력: 양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣF_x = 0과 ΣF_y = 0을 쓰세요.
단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

프레임과 기계

각 부재의 평형: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
2력 부재: 두 핀을 잇는 직선을 따르는 힘
핀 힘: 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대
핀 힘의 크기: F = √(F_x² + F_y²)
레버, 펜치, 벨 크랭크: F_in·a = F_out·b
토글: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
등분포 하중: 합력 w·L이 하중 중앙에 작용

방법

구조 전체를 그리고, 미지수가 3개 이하이면 지점 반력을 구하시오.
2력 부재를 찾으세요: 두 핀에만 하중을 받으므로 그 힘은 두 핀을 잇는 직선을 따릅니다.
프레임을 분해하고 각 부재를 따로 그리세요. 부재가 만나는 곳에서는 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그립니다.
각 부재에 대해 미지의 힘이 작용하는 핀에 대해 모멘트를 취한 다음 ΣF_x = 0과 ΣF_y = 0을 쓰세요. 성분은 마지막에 합쳐 크기로 만듭니다.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2연습 문제

1.벡터: 내적과 외적보통

일정한 힘 F = (10, 15, −5) N이 물체에 작용하는 동안, 물체가 점 A(3, 1, 1)에서 점 B(−3, 1, 4)까지 직선으로 움직인다. 좌표의 단위는 미터이다. 이 힘이 한 일 W을(를) 구하시오.

F = (10, 15, −5) NA(3, 1, 1) mB(−3, 1, 4) m

W = J

2.벡터: 내적과 외적어려움

단위 벡터 n̂은(는) a = (3, 3, 0)와 b = (4, 3, −5)에 모두 수직이고 z성분이 양수이다. 그 y성분 n̂_y을(를) 구하시오.

a = (3, 3, 0)b = (4, 3, −5)n̂_z > 0

n̂_y =

3.보의 지점 반력보통

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. 연직 지점 반력 R_B을(를) 구하시오.

L = 10 mP₁ = 15 kN 위치 7 mP₂ = 40 kN 위치 8 m

R_B = kN

4.보의 지점 반력어려움

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. 연직 지점 반력 R_B을(를) 구하시오.

L = 10 mP = 10 kN 위치 2 mw = 2 kN/m, 2부터 10 m까지

R_B = kN

5.트러스: 절점법보통

절점법으로 부재 AB의 부재력 F_AB을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 8 m높이 = 2 mB는 A에서 5 m연직 하중 = 10 kN

F_AB = kN

6.트러스: 절점법어려움

이 트러스의 부재 하나는 이 하중에서 힘을 받지 않습니다. 영력 부재는 어느 것입니까? 그림에서 클릭하세요.

B: 10 kN ↓C: 10 kN ↓G: 30 kN ↓H: 15 kN ↓H: 10 kN ←

1부재 AB
2부재 BC
3부재 CD
4부재 DE
5부재 FG
6부재 GH
7부재 AF
8부재 HE
9부재 BF
10부재 CG
11부재 DH
12부재 FC
13부재 HC

7.프레임과 기계보통

그림의 벨 크랭크는 핀 O를 중심으로 회전합니다. A(O에서 150 mm)의 250 N 수직 힘이 B(O보다 60 mm 위)의 수평 힘과 평형을 이룹니다. 핀 반력의 크기 F_O을(를) 구하시오.

F = 250 NOA = 150 mmOB = 60 mm

F_O = N

8.프레임과 기계어려움

토글 프레스에 핀 사이 길이가 각각 100 mm인 같은 링크 AB와 BC가 있습니다. 이음부 B는 선 AC 위 8 mm에 있습니다. 슬라이더 C에서 4000 N의 수평 압력을 내려면 B에 가하는 아래 방향 힘 F은(는) 얼마여야 합니까? 마찰과 자중은 무시합니다.

Q = 4000 NAB = BC = 100 mmh = 8 mm

F = N

9.전단력과 휨 모멘트보통

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

60 kN @ 6 m5 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.전단력과 휨 모멘트어려움

지점 A에서 x = 3 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 6 mP = 30 kN 위치 2 mw = 12 kN/m, 0부터 6 m까지x = 3 m

M_x = kN·m

11.도심과 단면 2차 모멘트보통

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.도심과 단면 2차 모멘트어려움

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 50 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ_위의 크기를 구하시오.

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 280 mmM = 50 kN·m

σ_위 = MPa

3용액

1.벡터: 내적과 외적

답: W = −75 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

변위

d = B − A = (−3, 1, 4) − (3, 1, 1) = (−6, 0, 3) m

일

W = F·d = 10·(−6) + 15·0 + (−5)·3 = −75 J

답

W = −75 J

음의 일: 힘이 대부분 운동에 반대로 작용합니다.

2.벡터: 내적과 외적

답: n̂_y = −0.7001

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

외적

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 3·(−5) − 0·3 = −15

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 0·4 − 3·(−5) = 15

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 3·3 − 3·4 = −3

정규화

a × b의 z성분이 음수이므로 −(a × b)를 사용하세요.

|a × b| = √((−15)² + 15² + (−3)²) = 21.42

n̂ = −(−15, 15, −3)/21.42 = (0.7001, −0.7001, 0.14)

n̂_y = −0.7001

답

n̂_y = −0.7001

3.보의 지점 반력

답: R_B = 42.5 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.

자유물체도

지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·7 + 40·8

R_B = 425/10 = 42.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 42.5 = 12.5 kN

답

R_B = 42.5 kN

4.보의 지점 반력

답: R_B = 11.6 kN

자유물체도

지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, 작용점 x̄ = 6 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·2 + 2·8·6

R_B = 116/10 = 11.6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 26 − 11.6 = 14.4 kN

답

R_B = 11.6 kN

5.트러스: 절점법

답: F_AB = −10.1 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 10·5 → C_y = 6.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 6.25 = 3.75 kN

절점 A

모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.

sin α = 2/5.385 = 0.3714

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −3.75/0.3714 = −10.1 kN

답

F_AB = −10.1 kN (압축)

6.트러스: 절점법

답: 부재 DH

영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.

절점 D

CD과 DE은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 DH만 남습니다.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

절점법으로 확인하기

모든 절점을 풀면 다음 부재력이 나옵니다(T = 인장, C = 압축).

AB: 23.75 kN (T), BC: 23.75 kN (T), CD: 31.25 kN (T), DE: 31.25 kN (T), FG: 57.5 kN (C), GH: 57.5 kN (C), AF: 47.73 kN (C), HE: 44.19 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 30 kN (C), DH: 0, FC: 33.59 kN (T), HC: 22.98 kN (T)

답

영력 부재: DH

7.프레임과 기계

답: F_O = 673.1 N

기계: 펜치, 레버, 링크 기구, 클램프는 입력 힘을 더 큰 힘이나 다른 방향의 출력 힘으로 바꿉니다. 한 부품을 자유물체로 그리고 회전축에 대해 모멘트를 취하세요: 핀 힘은 사라지고, F_in·a = F_out·b에서 기계적 이득 a/b가 나옵니다. 핀 힘은 같은 부품에 ΣF = 0을 적용하면 구해집니다. 토글에서는 두 링크가 얕은 각 θ로 만납니다. 각 링크는 2력 부재이므로 이음부의 작은 힘 F가 큰 링크 힘 F/(2 sin θ)와 조임력 F/(2 tan θ)를 만듭니다.

B에서의 힘

Q = 250·150/60 = 625 N

핀 반력

O_x = 625 N, O_y = 250 N

F_O = √(625² + 250²) = 673.1 N

답

F_O = 673.1 N

8.프레임과 기계

답: F = 642.1 N

링크 각

sin θ = 8/100 = 0.08, θ = 4.589°

링크 힘

F_link = Q/cos θ = 4013 N

B에서의 힘

F = 2·F_link·sin θ = 2·4000·tan θ = 642.1 N

답

F = 642.1 N

9.전단력과 휨 모멘트

답: D (x = 6 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R₁ = 56.67 kN, R₂ = 43.33 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

M_A = 0, M_B = 103.3, M_C = 186.7, M_D = 250 kN·m, M_E = 173.3, M_F = 86.67, M_G = 0

답

표시점 D: M_D = 250 kN·m

10.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 84 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, 작용점 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·2 + 12·6·3

R_B = 276/6 = 46 kN

ΣF_y = 0: R_A = 102 − 46 = 56 kN

x = 3 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 56·3 − 30·(3 − 2) − 12·3·1.5 = 84 kN·m

답

M_x = 84 kN·m

11.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 53.41 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 280·20 = 5600 mm², y_f = 220 + 20/2 = 230 mm

웨브: A_w = 20·220 = 4400 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5600·230 + 4400·110)/10000 = 177.2 mm

평행축 정리

플랜지: 280·20³/12 + 5600·(230 − 177.2)² = 1.58 × 10⁷ mm⁴

웨브: 20·220³/12 + 4400·(110 − 177.2)² = 3.762 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.58 × 10⁷ + 3.762 × 10⁷ = 5.341 × 10⁷ mm⁴ = 53.41 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 53.41 × 10⁶ mm⁴

12.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ_위 = 100.1 MPa

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 100·25 = 2500 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292.5 mm

웨브: A_w = 8·280 = 2240 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2500·292.5 + 2240·140)/4740 = 220.4 mm

평행축 정리

플랜지: 100·25³/12 + 2500·(292.5 − 220.4)² = 1.311 × 10⁷ mm⁴

웨브: 8·280³/12 + 2240·(140 − 220.4)² = 2.913 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.311 × 10⁷ + 2.913 × 10⁷ = 4.224 × 10⁷ mm⁴

휨 응력

위 가장자리는 축에서 h − ȳ 떨어져 있습니다.

y = 305 − 220.4 = 84.57 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·84.57/4.224 × 10⁷ = 100.1 MPa

답

σ_위 = 100.1 MPa

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