정역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

벡터: 내적과 외적

크기: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
단위 벡터: û = a/|a|
각도에서 성분 구하기: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
내적: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a를 b 위에 투영한 스칼라 투영: a·b/|b|
일: W = F·d
외적: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
넓이: 평행사변형 |a × b|, 삼각형 ½|a × b|
O에 대한 모멘트: M_O = r × F, r = A − O
평행육면체의 부피: V = |a·(b × c)|

방법

모든 벡터를 성분으로 쓰세요. 크기와 각도로 주어진 힘은 F·cos θ와 F·sin θ를 쓰세요.
길이와 방향에는 크기 √(x² + y² + z²)와 단위 벡터 a/|a|를 쓰세요.
각도, 투영, 수직 여부, 일에는 내적을 쓰세요: a·b = |a||b|cos θ.
수직 벡터, 넓이, 모멘트에는 외적을 쓰세요. 세 성분을 조심스럽게 쓰고 순서 a × b를 지키세요.

보의 지점 반력

평형: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
등분포 하중: 합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트: M = F·d

방법

자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
ΣF_y = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

트러스: 절점법

절점법: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
단면법: ΣM = 0 about a cut point
부재력: 양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣF_x = 0과 ΣF_y = 0을 쓰세요.
단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

프레임과 기계

각 부재의 평형: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
2력 부재: 두 핀을 잇는 직선을 따르는 힘
핀 힘: 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대
핀 힘의 크기: F = √(F_x² + F_y²)
레버, 펜치, 벨 크랭크: F_in·a = F_out·b
토글: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
등분포 하중: 합력 w·L이 하중 중앙에 작용

방법

구조 전체를 그리고, 미지수가 3개 이하이면 지점 반력을 구하시오.
2력 부재를 찾으세요: 두 핀에만 하중을 받으므로 그 힘은 두 핀을 잇는 직선을 따릅니다.
프레임을 분해하고 각 부재를 따로 그리세요. 부재가 만나는 곳에서는 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그립니다.
각 부재에 대해 미지의 힘이 작용하는 핀에 대해 모멘트를 취한 다음 ΣF_x = 0과 ΣF_y = 0을 쓰세요. 성분은 마지막에 합쳐 크기로 만듭니다.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2연습 문제

1.벡터: 내적과 외적보통

벡터 a = (−2, −4, 6)와 b = (−2, 2, −6) 사이의 각도 θ을(를) 도(°) 단위로 구하시오.

a = (−2, −4, 6)b = (−2, 2, −6)

θ = °

2.벡터: 내적과 외적어려움

단위 벡터 n̂은(는) a = (0, 3, 1)와 b = (2, −4, 1)에 모두 수직이고 z성분이 양수이다. 그 y성분 n̂_y을(를) 구하시오.

a = (0, 3, 1)b = (2, −4, 1)n̂_z > 0

n̂_y =

3.보의 지점 반력보통

캔틸레버 보는 A에서 벽에 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, 벽에서 3 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 벽의 반력 모멘트 크기 M_A을(를) 구하시오.

L = 4 mP = 50 kN 위치 3 mw = 10 kN/m, 0부터 4 m까지

M_A = kN·m

4.보의 지점 반력어려움

캔틸레버 보는 A에서 벽에 고정되어 있다. 벽에서 8 kN/m이고 자유단 B에서 0으로 감소하는 선형 분포 하중과, 벽에서 1.5 m 떨어진 곳의 집중 하중 P가 작용한다. 벽의 반력 모멘트 크기 M_A을(를) 구하시오.

L = 4 mw₀ = 8 kN/mP = 10 kN 위치 1.5 m

M_A = kN·m

5.트러스: 절점법보통

절점법으로 부재 AB의 부재력 F_AB을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 6 m높이 = 3 mB는 A에서 1 m연직 하중 = 15 kN

F_AB = kN

6.트러스: 절점법어려움

절점법으로 부재 AB의 부재력 F_AB을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 4 m높이 = 4 mB는 A에서 3 m연직 하중 = 30 kN수평 하중 = 20 kN →

F_AB = kN

7.프레임과 기계보통

그림의 토글 클램프에서 같은 길이의 두 링크 AB와 BC가 B에서 핀으로 연결되어 있고, 각각 선 AC와 5°를 이룹니다. B에 300 N의 아래 방향 힘이 가해집니다. 슬라이더 C가 공작물을 누릅니다. 마찰과 자중을 무시하고 수평 조임력 Q을(를) 구하시오.

F = 300 Nθ = 5°

Q = N

8.프레임과 기계어려움

그림의 벽 브래킷의 보 AB는 A에서 핀으로 연결되어 있고 지주 CD가 받칩니다(C는 A보다 0.5 m 아래). 보는 전체 길이에 걸쳐 3 kN/m의 등분포 하중과 자유단 B에 2 kN의 집중 하중을 받습니다. 지주의 힘 F_CD을(를) 구하시오.

w = 3 kN/mP = 2 kNAD = 1.2 mAB = 2 mAC = 0.5 m

F_CD = kN

9.전단력과 휨 모멘트보통

지점 A에서 x = 1 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 6 mw = 10 kN/m, 0부터 6 m까지x = 1 m

M_x = kN·m

10.전단력과 휨 모멘트어려움

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

15 kN @ 12 m15 kN @ 2 m6 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.도심과 단면 2차 모멘트보통

100 mm × 150 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 50 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 97.5 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b = 100 mmh = 150 mmd = 50 mm구멍 중심: y = 97.5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.도심과 단면 2차 모멘트어려움

용접 I형 단면의 상부 플랜지는 100 × 14 mm, 웨브는 높이 270 mm, 두께 10 mm, 하부 플랜지는 180 × 22 mm(폭 × 두께)이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

상부 플랜지: 100 × 14 mm웨브: 10 × 270 mm하부 플랜지: 180 × 22 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3용액

1.벡터: 내적과 외적

답: θ = 143.7 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

내적

a·b = (−2)·(−2) + (−4)·2 + 6·(−6) = −40

크기들

|a| = √((−2)² + (−4)² + 6²) = 7.483

|b| = √((−2)² + 2² + (−6)²) = 6.633

위상각

cos θ = −40/(7.483·6.633) = −0.8058

θ = arccos(−0.8058) = 143.7°

답

θ = 143.7°

2.벡터: 내적과 외적

답: n̂_y = −0.212

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

외적

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 3·1 − 1·(−4) = 7

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 1·2 − 0·1 = 2

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 0·(−4) − 3·2 = −6

정규화

a × b의 z성분이 음수이므로 −(a × b)를 사용하세요.

|a × b| = √(7² + 2² + (−6)²) = 9.434

n̂ = −(7, 2, −6)/9.434 = (−0.742, −0.212, 0.636)

n̂_y = −0.212

답

n̂_y = −0.212

3.보의 지점 반력

답: M_A = 230 kN·m

캔틸레버의 평형: 고정 지점은 위로 밀 수 있고 회전에도 저항하므로 연직 반력 R_A와 반력 모멘트 M_A를 줍니다. ΣF_y = 0에서 R_A가 나오고, 벽에 대한 모멘트에서 M_A = Σ(하중 × 벽으로부터의 거리)가 나옵니다. 분포 하중은 하중도의 도심에 작용하는 합력으로 작용합니다.

분포 하중의 합력

W = 10·4 = 40 kN, x̄ = 2 m

벽에 대한 모멘트

M_A = P·a + W·x̄ = 50·3 + 40·2 = 230 kN·m

답

M_A = 230 kN·m

4.보의 지점 반력

답: M_A = 36.33 kN·m

삼각형 하중의 합력

W = ½·8·4 = 16 kN

x̄ = L/3 = 1.333 m

벽에 대한 모멘트

M_A = W·x̄ + P·a = 16·1.333 + 10·1.5 = 36.33 kN·m

답

M_A = 36.33 kN·m

5.트러스: 절점법

답: F_AB = −13.18 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 15·1 → C_y = 2.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 2.5 = 12.5 kN

절점 A

모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.

sin α = 3/3.162 = 0.9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −12.5/0.9487 = −13.18 kN

답

F_AB = −13.18 kN (압축)

6.트러스: 절점법

답: F_AB = 15.63 kN

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 30·3 + 20·4 → C_y = 42.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 42.5 = −12.5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

절점 A

모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.

sin α = 4/5 = 0.8

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −−12.5/0.8 = 15.63 kN

답

F_AB = 15.63 kN (인장)

7.프레임과 기계

답: Q = 1715 N

기계: 펜치, 레버, 링크 기구, 클램프는 입력 힘을 더 큰 힘이나 다른 방향의 출력 힘으로 바꿉니다. 한 부품을 자유물체로 그리고 회전축에 대해 모멘트를 취하세요: 핀 힘은 사라지고, F_in·a = F_out·b에서 기계적 이득 a/b가 나옵니다. 핀 힘은 같은 부품에 ΣF = 0을 적용하면 구해집니다. 토글에서는 두 링크가 얕은 각 θ로 만납니다. 각 링크는 2력 부재이므로 이음부의 작은 힘 F가 큰 링크 힘 F/(2 sin θ)와 조임력 F/(2 tan θ)를 만듭니다.

핀 B의 평형

2·F_link·sin 5° = 300

F_link = 1721 N

조임력

Q = F_link·cos 5° = 300/(2·tan 5°) = 1715 N

답

Q = 1715 N

링크가 펴질수록 힘의 비 Q/F = 5.715는 한없이 커집니다.

8.프레임과 기계

답: F_CD = 21.67 kN

프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.

등분포 하중의 합력

w·L = 3·2 = 6 kN 위치 1 m

보: A에 대한 모멘트

F_CD·0.3846·1.2 = 6·1 + 2·2 = 10 kN·m

F_CD = 21.67 kN

답

F_CD = 21.67 kN

9.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 25 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, 작용점 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·6·3

R_B = 180/6 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

x = 1 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 30·1 − 10·1·0.5 = 25 kN·m

답

M_x = 25 kN·m

10.전단력과 휨 모멘트

답: E (x = 8 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R₁ = 27.75 kN, R₂ = 50.25 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

M_A = 0, M_B = 43.5, M_C = 33, M_D = −1.5, M_E = −60 kN·m, M_F = −30, M_G = 0

답

표시점 E: M_E = −60 kN·m

11.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 26.67 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 I_c = bh³/12, 원은 I_c = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (15000·75 − 1963·97.5)/(15000 − 1963) = 71.61 mm

ȳ에 대한 전체 판

100·150³/12 + 15000·3.389² = 28.3 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

π·50⁴/64 + 1963·25.89² = 1.623 × 10⁶ mm⁴

빼기

I_x = 26.67 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 26.67 × 10⁶ mm⁴

12.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 111.4 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

세 개의 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

상부 플랜지: A = 1400 mm², y = 299 mm

웨브: A = 2700 mm², y = 157 mm

하부 플랜지: A = 3960 mm², y = 11 mm

도심

ȳ = (1400·299 + 2700·157 + 3960·11)/8060 = 109.9 mm

평행축 정리

상부 플랜지: 100·14³/12 + 1400·189.1² = 5.007 × 10⁷ mm⁴

웨브: 10·270³/12 + 2700·47.07² = 2.238 × 10⁷ mm⁴

하부 플랜지: 180·22³/12 + 3960·98.93² = 3.892 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5.007 × 10⁷ + 2.238 × 10⁷ + 3.892 × 10⁷

I_x = 1.114 × 10⁸ mm⁴ = 111.4 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 111.4 × 10⁶ mm⁴

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