그림의 프레임에는 A, B, C에 핀이 있습니다. A와 C는 6 m 떨어져 지면에 고정되어 있고, B는 지면 위 4 m, A의 오른쪽 0.9 m에 있습니다. 부재 AB 위의 K에 5 kN의 수직 하중이 작용하며 K는 A에서 (수평으로) 0.45 m 떨어져 있습니다. 부재 BC의 힘 FBC을(를) 구하시오.
P = 5 kNL = 6 mH = 4 mA에서 B까지의 수평 거리 = 0.9 mA에서 K까지의 수평 거리 = 0.45 m
FBC = kN
8.프레임과 기계어려움
그림의 벽 브래킷의 보 AB는 A에서 핀으로 연결되어 있고 지주 CD가 받칩니다(C는 A보다 0.6 m 아래). 보는 전체 길이에 걸쳐 2.5 kN/m의 등분포 하중과 자유단 B에 15 kN의 집중 하중을 받습니다. 지주의 힘 FCD을(를) 구하시오.
w = 2.5 kN/mP = 15 kNAD = 1.2 mAB = 3 mAC = 0.6 m
FCD = kN
9.전단력과 휨 모멘트보통
단순보의 A에서 x = 4 m인 곳에 시계 방향 우력 M0 = 20 kN·m이(가) 작용하며, 다른 하중은 없다. 우력 바로 왼쪽의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 6 mM0 = 20 kN·m 시계 방향, 위치 4 m
Mx = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
지점 A에서 x = 8 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 10 mP = 10 kN 위치 8 mw = 10 kN/m, 0부터 10 m까지x = 8 m
Mx = kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 210 mm, 두께 24 mm이고, 전체 높이는 360 mm, 웨브 두께는 8 mm이다. 수평 도심축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
B = 210 mmH = 360 mmtf = 24 mmtw = 8 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 15 kN·m을(를) 받는다. 아래 가장자리의 휨 응력 σ아래을(를) 구하시오.
내적:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ는 스칼라입니다. 두 벡터 사이의 각도를 cos θ = a·b/(|a|·|b|)로 구할 수 있고, 두 벡터가 수직이면 0입니다. a를 b 위에 투영한 스칼라 투영은 a·b/|b|이며, 일정한 힘 F가 변위 d만큼 움직이는 동안 한 일은 W = F·d입니다.
내적
a·b = (−6)·4 + (−6)·5 + 2·0 = −54
b의 길이
|b| = √(4² + 5² + 0²) = 6.403
스칼라 투영
compb a = a·b/|b| = −54/6.403 = −8.433
답
compb a = −8.433
음수: a는 b와 반대 방향의 성분을 가집니다.
2.벡터: 내적과 외적
답: (a × b)x = −16
외적:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)는 두 벡터에 모두 수직이고, |a × b| = |a|·|b|·sin θ는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이입니다(삼각형은 그 절반). 순서가 중요합니다: b × a = −(a × b). 점 A에 작용하는 힘 F의 점 O에 대한 모멘트는 MO = r × F이며, r = A − O입니다.
성분별로 구하는 외적
(a × b)x = aybz − azby = 5·(−2) − 6·1 = −16
(a × b)y = azbx − axbz = 6·(−2) − (−4)·(−2) = −20
(a × b)z = axby − aybx = (−4)·1 − 5·(−2) = 6
요청된 성분
(a × b)x = −16
답
(a × b)x = −16
확인: a × b는 두 벡터에 모두 수직이므로, a 및 b와의 내적이 0입니다.
3.보의 지점 반력
답: RB = 15.5 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.
자유물체도
지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
ΣMA = 0: RB·10 = 40·2 + 25·3
RB = 155/10 = 15.5 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 15.5 = 49.5 kN
답
RB = 15.5 kN
4.보의 지점 반력
답: RA = 24.38 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.
분포 하중의 합력
W = 8·2.5 = 20 kN, x̄ = (3.5 + 6)/2 = 4.75 m
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
ΣMA = 0: RB·4 = 75·2.5 + 20·4.75
RB = 282.5/4 = 70.63 kN
RA = 95 − 70.63 = 24.38 kN
답
RA = 24.38 kN
5.트러스: 절점법
답: FBC = −33 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·6 = 35·4 → Cy = 23.33 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 23.33 = 11.67 kN
절점 C
롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.
sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071
영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.
절점 B
AB과 BC은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 BF만 남습니다.
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
2력 부재 BC
BC = √(5.1² + 4²) = 6.482 m
프레임 전체: A에 대한 모멘트
지면은 C에서 CB를 따라 BC를 밉니다. 그 수평 성분은 A를 지나므로 수직 성분만 모멘트를 가집니다.
FBC·(4/6.482)·6 = 5·0.45
FBC = 0.6076 kN (압축)
답
FBC = 0.6076 kN
8.프레임과 기계
답: FCD = 104.8 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
등분포 하중의 합력
w·L = 2.5·3 = 7.5 kN 위치 1.5 m
보: A에 대한 모멘트
FCD·0.4472·1.2 = 7.5·1.5 + 15·3 = 56.25 kN·m
FCD = 104.8 kN
답
FCD = 104.8 kN
9.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = −13.33 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 작용하는 우력은 휨 모멘트도를 우력의 크기만큼 급변시킵니다.
지점 반력
A에 대한 모멘트, 반시계 방향을 양으로: RB·L − M0 = 0. 연직 평형: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 20/6 = 3.333 kN (위쪽)
RA = −RB = −3.333 kN (아래쪽)
우력 바로 왼쪽에서 자른다
왼쪽 부분에는 RA만 포함됩니다.
Mx = RA·a = −3.333·4 = −13.33 kN·m
답
Mx = −13.33 kN·m
10.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 96 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, 작용점 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·8 + 10·10·5
RB = 580/10 = 58 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 58 = 52 kN
x = 8 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 52·8 − 10·8·4 = 96 kN·m
답
Mx = 96 kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 305.2 × 10⁶ mm⁴
단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = Ic + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다.
바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개
두 빈 부분을 합치면 폭 (B − tw), 높이 hw = H − 2tf이며, 축 x를 공유합니다.