수평 보 AB가 A에서 벽에 핀으로 연결되어 있고, A보다 1.5 m 아래의 C에서 벽에 핀으로 연결된 지주 CD가 받치고 있습니다. B에 5 kN의 하중이 매달려 있습니다. 자중은 무시합니다. A에서 보에 작용하는 핀 힘의 크기 A을(를) 구하시오.
P = 5 kNAD = 1.5 mAB = 2 mAC = 1.5 m
A = kN
8.프레임과 기계어려움
그림의 A형 프레임은 A의 핀과 B의 롤러 위에 서 있으며 둘 사이는 5 m입니다. 두 다리는 높이 3 m의 핀 C에서 만나고, 높이 1.2 m의 수평 막대 DE로 묶여 있습니다. C에 오른쪽으로 향하는 6 kN의 수평 힘이 작용합니다. 타이의 장력 T을(를) 구하시오.
P = 6 kNAB = 5 mC의 높이 = 3 mDE의 높이 = 1.2 m
T = kN
9.전단력과 휨 모멘트보통
캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 2 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 휨 모멘트 MA을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 2.5 mP = 15 kN 위치 2 mw = 8 kN/m, 0부터 2.5 m까지
MA = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 1.5 m만큼 내밀어져 있다. 전체 길이 A–C에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 B에서의 휨 모멘트 MB을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 7.5 mw = 4 kN/m, 0부터 7.5 m까지x = 0과 x = 6 m에 지점
MB = kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
100 mm × 200 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 50 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 80 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 100 mmh = 200 mmd = 50 mm구멍 중심: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
용접 I형 단면의 상부 플랜지는 100 × 22 mm, 웨브는 높이 180 mm, 두께 8 mm, 하부 플랜지는 300 × 10 mm(폭 × 두께)이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
내적:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ는 스칼라입니다. 두 벡터 사이의 각도를 cos θ = a·b/(|a|·|b|)로 구할 수 있고, 두 벡터가 수직이면 0입니다. a를 b 위에 투영한 스칼라 투영은 a·b/|b|이며, 일정한 힘 F가 변위 d만큼 움직이는 동안 한 일은 W = F·d입니다.
변위
d = B − A = (3, −2, −5) − (−2, −3, −4) = (5, 1, −1) m
일
W = F·d = 5·5 + 25·1 + 10·(−1) = 40 J
답
W = 40 J
2.벡터: 내적과 외적
답: V = 76
외적:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)는 두 벡터에 모두 수직이고, |a × b| = |a|·|b|·sin θ는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이입니다(삼각형은 그 절반). 순서가 중요합니다: b × a = −(a × b). 점 A에 작용하는 힘 F의 점 O에 대한 모멘트는 MO = r × F이며, r = A − O입니다.
외적 b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 0·(−2) − 5·(−3) = 15
(b × c)y = bzcx − bxcz = 5·5 − 2·(−2) = 29
(b × c)z = bxcy − bycx = 2·(−3) − 0·5 = −6
a와의 내적
a·(b × c) = (−3)·15 + 5·29 + 4·(−6) = 76
V = |76| = 76
답
V = 76
3.보의 지점 반력
답: MA = 425 kN·m
캔틸레버의 평형: 고정 지점은 위로 밀 수 있고 회전에도 저항하므로 연직 반력 RA와 반력 모멘트 MA를 줍니다. ΣFy = 0에서 RA가 나오고, 벽에 대한 모멘트에서 MA = Σ(하중 × 벽으로부터의 거리)가 나옵니다. 분포 하중은 하중도의 도심에 작용하는 합력으로 작용합니다.
분포 하중의 합력
W = 10·5 = 50 kN, x̄ = 2.5 m
벽에 대한 모멘트
MA = P·a + W·x̄ = 75·4 + 50·2.5 = 425 kN·m
답
MA = 425 kN·m
4.보의 지점 반력
답: RA = 26.44 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.
P의 성분
Pv = 30·sin 50° = 22.98 kN
Ph = 30·cos 50° = 19.28 kN
반력
ΣMA = 0: RB·5 = 22.98·1.5 + 10·4 → RB = 14.89 kN
Ay = 22.98 + 10 − 14.89 = 18.09 kN
Ax = Ph = 19.28 kN
A의 합력
RA = √(19.28² + 18.09²) = 26.44 kN
답
RA = 26.44 kN
5.트러스: 절점법
답: 부재 BF
영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.
절점 B
AB과 BC은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 BF만 남습니다.
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
지주의 힘
FCD = 5·2/(0.7071·1.5) = 9.428 kN
A에서의 성분
Ax = FCD·cos α = 6.667 kN (벽 쪽으로)
Ay = 5 − FCD·sin α = −1.667 kN
크기
A = √(6.667² + −1.667²) = 6.872 kN
답
A = 6.872 kN
Ay가 음수이면 벽이 A에서 보를 아래로 당긴다는 뜻입니다.
8.프레임과 기계
답: T = 5 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
프레임 전체: A에 대한 모멘트
By·5 = 6·3
By = 3.6 kN
다리 BC: C에 대한 모멘트
3.6·2.5 = T·1.8
T = 5 kN
답
T = 5 kN
T가 양수이면 타이는 가정한 대로 인장을 받습니다.
9.전단력과 휨 모멘트
답: MA = −55 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
자유단 쪽 부분을 남긴다
P: −15·2 = −30 kN·m
w: −8·2.5²/2 = −25 kN·m
MA = −30 − 25 = −55 kN·m
답
MA = −55 kN·m
음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.
10.전단력과 휨 모멘트
답: MB = −4.5 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
내민 부분의 하중을 포함한 보 전체의 평형입니다.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·7.5 = 30 kN, 작용점 x̄ = 3.75 m
ΣMA = 0: RB·6 = 4·7.5·3.75
RB = 112.5/6 = 18.75 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 18.75 = 11.25 kN
B에서 자르고 내민 부분을 남긴다
내민 부분의 하중 w·a는 B에서 a/2인 곳에 작용하며, 지점 위에서 보를 위로 볼록하게 휩니다(부모멘트).
MB = −w·a²/2 = −4·1.5²/2 = −4.5 kN·m
답
MB = −4.5 kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 65.49 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (20000·100 − 1963·80)/(20000 − 1963) = 102.2 mm
ȳ에 대한 전체 판
100·200³/12 + 20000·−2.177² = 66.76 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
π·50⁴/64 + 1963·−22.18² = 1.273 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 65.49 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 65.49 × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 52.92 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
세 개의 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
상부 플랜지: A = 2200 mm², y = 201 mm
웨브: A = 1440 mm², y = 100 mm
하부 플랜지: A = 3000 mm², y = 5 mm
도심
ȳ = (2200·201 + 1440·100 + 3000·5)/6640 = 90.54 mm