그림의 A형 프레임은 A의 핀과 B의 롤러 위에 서 있으며 둘 사이는 4.8 m입니다. 두 다리는 높이 3 m의 핀 C에서 만나고, 수평 타이 DE는 지면 위 1 m에 있습니다. C에 15 kN의 하중이 작용합니다. 핀 C가 다리 BC에 가하는 힘의 크기 C을(를) 구하시오.
P = 15 kNAB = 4.8 mC의 높이 = 3 mDE의 높이 = 1 m
C = kN
8.프레임과 기계어려움
그림의 벽 브래킷의 보 AB는 A에서 핀으로 연결되어 있고 지주 CD가 받칩니다(C는 A보다 0.5 m 아래). 보는 전체 길이에 걸쳐 2.5 kN/m의 등분포 하중과 자유단 B에 10 kN의 집중 하중을 받습니다. 지주의 힘 FCD을(를) 구하시오.
w = 2.5 kN/mP = 10 kNAD = 2 mAB = 3 mAC = 0.5 m
FCD = kN
9.전단력과 휨 모멘트보통
단순보에 두 개의 집중 하중이 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.
L = 4 mP1 = 35 kN 위치 1 mP2 = 35 kN 위치 1.5 m
Mmax = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
20 kN @ 0 m35 kN @ 6 m35 kN @ 2 m4 kN/m, 1–4 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
bf = 240 mmtf = 30 mmtw = 14 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 150 mm, 두께 16 mm이고, 전체 높이는 240 mm, 웨브 두께는 10 mm이다. 축 x에 대해 휨 모멘트 100 kN·m을(를) 받는다. 웨브와 상부 플랜지가 만나는 곳의 휨 응력 크기 σj을(를) 구하시오.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
내적
a·b = (−6)·4 + 3·6 + (−5)·4 = −26
b의 길이
|b| = √(4² + 6² + 4²) = 8.246
스칼라 투영
compb a = a·b/|b| = −26/8.246 = −3.153
답
compb a = −3.153
음수: a는 b와 반대 방향의 성분을 가집니다.
2.벡터: 내적과 외적
답: (a × b)z = 24
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
성분별로 구하는 외적
(a × b)x = aybz − azby = (−4)·(−5) − 2·(−4) = 28
(a × b)y = azbx − axbz = 2·6 − 0·(−5) = 12
(a × b)z = axby − aybx = 0·(−4) − (−4)·6 = 24
요청된 성분
(a × b)z = 24
답
(a × b)z = 24
확인: a × b는 두 벡터에 모두 수직이므로, a 및 b와의 내적이 0입니다.
3.보의 지점 반력
답: RB = 128.3 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.
A에 대한 모멘트
반시계 방향을 양으로.
ΣMA = 0: RB·6 = 10·2 + 75·10
RB = 770/6 = 128.3 kN
연직 방향 평형
RA = 10 + 75 − 128.3 = −43.33 kN
답
RB = 128.3 kN
RA가 음수입니다. A의 힌지가 보를 아래로 붙잡아야 합니다.
4.보의 지점 반력
답: RB = 28 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.
자유물체도
지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 60·3 + 8·5·2.5
RB = 280/10 = 28 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 28 = 72 kN
답
RB = 28 kN
5.트러스: 절점법
답: FAC = 13.5 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·5 = 45·3 → Cy = 27 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 27 = 18 kN
절점 C
롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.
sin γ = 4/4.472 = 0.8944, cos γ = 2/4.472 = 0.4472
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
다리 BC로부터 구한 타이 힘
By = 7.5 kN
T = 7.5·2.4/2 = 9 kN
BC에 작용하는 핀 힘의 성분
Cx = T = 9 kN, Cy = −By = −7.5 kN
크기
C = √(9² + 7.5²) = 11.72 kN
답
C = 11.72 kN
8.프레임과 기계
답: FCD = 85.04 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
등분포 하중의 합력
w·L = 2.5·3 = 7.5 kN 위치 1.5 m
보: A에 대한 모멘트
FCD·0.2425·2 = 7.5·1.5 + 10·3 = 41.25 kN·m
FCD = 85.04 kN
답
FCD = 85.04 kN
9.전단력과 휨 모멘트
답: Mmax = 54.69 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
ΣMA = 0: RB·4 = 35·1 + 35·1.5
RB = 87.5/4 = 21.88 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 21.88 = 48.13 kN
각 하중 아래의 모멘트
각 하중의 왼쪽 부분을 남깁니다.
아래 P1: M = RA·1 = 48.13·1 = 48.13 kN·m
아래 P2: M = RB·2.5 = 21.88·2.5 = 54.69 kN·m
최댓값
Mmax = 54.69 kN·m (아래 P2)
답
Mmax = 54.69 kN·m
10.전단력과 휨 모멘트
답: E (x = 4 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 32.67 kN, R2 = 69.33 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = −20, MC = −9.333, MD = −37.67, ME = −70 kN·m, MF = −35, MG = 0
답
표시점 E: ME = −70 kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 10.22 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 240·30 = 7200 mm², yf = 120 + 30/2 = 135 mm