그림의 프레임에는 A, B, C에 핀이 있습니다. A와 C는 3 m 떨어져 지면에 고정되어 있고, B는 지면 위 2.5 m, A의 오른쪽 0.45 m에 있습니다. 부재 AB 위의 K에 12 kN의 수직 하중이 작용하며 K는 A에서 (수평으로) 0.18 m 떨어져 있습니다. 부재 BC의 힘 FBC을(를) 구하시오.
P = 12 kNL = 3 mH = 2.5 mA에서 B까지의 수평 거리 = 0.45 mA에서 K까지의 수평 거리 = 0.18 m
FBC = kN
8.프레임과 기계어려움
그림의 A형 프레임은 A의 핀과 B의 롤러 위에 서 있으며 둘 사이는 2.4 m입니다. 두 다리는 높이 2 m의 핀 C에서 만나고, 높이 1 m의 수평 막대 DE로 묶여 있습니다. C에 오른쪽으로 향하는 20 kN의 수평 힘이 작용합니다. 타이의 장력 T을(를) 구하시오.
P = 20 kNAB = 2.4 mC의 높이 = 2 mDE의 높이 = 1 m
T = kN
9.전단력과 휨 모멘트보통
지점 A에서 x = 7.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 8 mw = 8 kN/m, 0부터 8 m까지x = 7.5 m
Mx = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
40 kN @ 0 m35 kN @ 12 m40 kN @ 4 m5 kN/m, 2–10 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
120 mm × 150 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 60 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 52.5 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 120 mmh = 150 mmd = 60 mm구멍 중심: y = 52.5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 110 mm, 두께 20 mm이고, 전체 높이는 400 mm, 웨브 두께는 14 mm이다. 축 x에 대해 휨 모멘트 200 kN·m을(를) 받는다. 웨브와 상부 플랜지가 만나는 곳의 휨 응력 크기 σj을(를) 구하시오.
내적:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ는 스칼라입니다. 두 벡터 사이의 각도를 cos θ = a·b/(|a|·|b|)로 구할 수 있고, 두 벡터가 수직이면 0입니다. a를 b 위에 투영한 스칼라 투영은 a·b/|b|이며, 일정한 힘 F가 변위 d만큼 움직이는 동안 한 일은 W = F·d입니다.
외적:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)는 두 벡터에 모두 수직이고, |a × b| = |a|·|b|·sin θ는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이입니다(삼각형은 그 절반). 순서가 중요합니다: b × a = −(a × b). 점 A에 작용하는 힘 F의 점 O에 대한 모멘트는 MO = r × F이며, r = A − O입니다.
O에서 A로 가는 위치 벡터
r = A − O = (0, −3, −1) − (0, 0, 0) = (0, −3, −1) m
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.
A에 대한 모멘트
반시계 방향을 양으로.
ΣMA = 0: RB·3.5 = 25·1.5 + 60·5
RB = 337.5/3.5 = 96.43 kN
연직 방향 평형
RA = 25 + 60 − 96.43 = −11.43 kN
답
RA = −11.43 kN
RA가 음수입니다. A의 힌지가 보를 아래로 붙잡아야 합니다.
4.보의 지점 반력
답: MA = 233.3 kN·m
캔틸레버의 평형: 고정 지점은 위로 밀 수 있고 회전에도 저항하므로 연직 반력 RA와 반력 모멘트 MA를 줍니다. ΣFy = 0에서 RA가 나오고, 벽에 대한 모멘트에서 MA = Σ(하중 × 벽으로부터의 거리)가 나옵니다. 분포 하중은 하중도의 도심에 작용하는 합력으로 작용합니다.
삼각형 하중의 합력
W = ½·8·10 = 40 kN
x̄ = L/3 = 3.333 m
벽에 대한 모멘트
MA = W·x̄ + P·a = 40·3.333 + 10·10 = 233.3 kN·m
답
MA = 233.3 kN·m
5.트러스: 절점법
답: FAC = 13.33 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·6 = 30·4 → Cy = 20 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 20 = 10 kN
절점 C
롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.
sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
2력 부재 BC
BC = √(2.55² + 2.5²) = 3.571 m
프레임 전체: A에 대한 모멘트
지면은 C에서 CB를 따라 BC를 밉니다. 그 수평 성분은 A를 지나므로 수직 성분만 모멘트를 가집니다.
FBC·(2.5/3.571)·3 = 12·0.18
FBC = 1.028 kN (압축)
답
FBC = 1.028 kN
8.프레임과 기계
답: T = 20 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
프레임 전체: A에 대한 모멘트
By·2.4 = 20·2
By = 16.67 kN
다리 BC: C에 대한 모멘트
16.67·1.2 = T·1
T = 20 kN
답
T = 20 kN
T가 양수이면 타이는 가정한 대로 인장을 받습니다.
9.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 15 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 8·8·4
RB = 256/8 = 32 kN
ΣFy = 0: RA = 64 − 32 = 32 kN
x = 7.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 32·7.5 − 8·7.5·3.75 = 15 kN·m
답
Mx = 15 kN·m
10.전단력과 휨 모멘트
답: B (x = 2 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 91.25 kN, R2 = 63.75 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = −80 kN·m, MC = 12.5, MD = 5, ME = −22.5, MF = −70, MG = 0
답
표시점 B: MB = −80 kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 31.42 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (18000·75 − 2827·52.5)/(18000 − 2827) = 79.19 mm
ȳ에 대한 전체 판
120·150³/12 + 18000·−4.193² = 34.07 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
π·60⁴/64 + 2827·−26.69² = 2.651 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 31.42 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 31.42 × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트
답: σj = 168.7 MPa
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개
두 빈 부분을 합치면 폭 (B − tw), 높이 hw = H − 2tf이며, 축 x를 공유합니다.