그림의 프레임에는 A, B, C에 핀이 있습니다. A와 C는 8 m 떨어져 지면에 고정되어 있고, B는 지면 위 2 m, A의 오른쪽 4.8 m에 있습니다. 부재 AB 위의 K에 8 kN의 수직 하중이 작용하며 K는 A에서 (수평으로) 1.92 m 떨어져 있습니다. 부재 BC의 힘 FBC을(를) 구하시오.
P = 8 kNL = 8 mH = 2 mA에서 B까지의 수평 거리 = 4.8 mA에서 K까지의 수평 거리 = 1.92 m
FBC = kN
8.프레임과 기계어려움
그림의 프레임에는 A, B, C에 핀이 있습니다. A와 C는 6 m 떨어져 지면에 고정되어 있고, B는 높이 2 m, A의 오른쪽 3.6 m에 있습니다. 부재 AB는 A에서 (수평으로) 1.8 m 떨어진 K에서 5 kN의 수직 하중을 받고, B에서는 오른쪽으로 향하는 6 kN의 수평 하중이 부재 AB에 작용합니다. A의 수평 반력 Ax의 크기를 구하시오.
P = 5 kNQ = 6 kNL = 6 mH = 2 mA에서 B까지의 수평 거리 = 3.6 mA에서 K까지의 수평 거리 = 1.8 m
Ax = kN
9.전단력과 휨 모멘트보통
지점 A에서 x = 3.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 4 mw = 3 kN/m, 0부터 4 m까지x = 3.5 m
Mx = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
35 kN @ 0 m30 kN @ 6 m15 kN/m, 1–5 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
bf = 200 mmtf = 20 mmtw = 12 mmhw = 160 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
주철 보는 그림과 같은 T형 단면이며 플랜지가 위에 있다. 허용 응력은 인장 30 MPa, 압축 90 MPa이다. 보가 견딜 수 있는 최대 정(正) 휨 모멘트 Mallow을(를) 구하시오.
내적:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ는 스칼라입니다. 두 벡터 사이의 각도를 cos θ = a·b/(|a|·|b|)로 구할 수 있고, 두 벡터가 수직이면 0입니다. a를 b 위에 투영한 스칼라 투영은 a·b/|b|이며, 일정한 힘 F가 변위 d만큼 움직이는 동안 한 일은 W = F·d입니다.
내적
a·b = (−4)·2 + 4·(−2) + 5·0 = −16
크기들
|a| = √((−4)² + 4² + 5²) = 7.55
|b| = √(2² + (−2)² + 0²) = 2.828
위상각
cos θ = −16/(7.55·2.828) = −0.7493
θ = arccos(−0.7493) = 138.5°
답
θ = 138.5°
2.벡터: 내적과 외적
답: n̂y = −0.7442
외적:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)는 두 벡터에 모두 수직이고, |a × b| = |a|·|b|·sin θ는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이입니다(삼각형은 그 절반). 순서가 중요합니다: b × a = −(a × b). 점 A에 작용하는 힘 F의 점 O에 대한 모멘트는 MO = r × F이며, r = A − O입니다.
외적
(a × b)x = aybz − azby = 3·2 − (−1)·(−1) = 5
(a × b)y = azbx − axbz = (−1)·(−2) − 4·2 = −6
(a × b)z = axby − aybx = 4·(−1) − 3·(−2) = 2
정규화
a × b의 z성분은 이미 양수입니다.
|a × b| = √(5² + (−6)² + 2²) = 8.062
n̂ = (5, −6, 2)/8.062 = (0.6202, −0.7442, 0.2481)
n̂y = −0.7442
답
n̂y = −0.7442
3.보의 지점 반력
답: RB = 93.33 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.
A에 대한 모멘트
반시계 방향을 양으로.
ΣMA = 0: RB·3 = 40·2 + 40·5
RB = 280/3 = 93.33 kN
연직 방향 평형
RA = 40 + 40 − 93.33 = −13.33 kN
답
RB = 93.33 kN
RA가 음수입니다. A의 힌지가 보를 아래로 붙잡아야 합니다.
4.보의 지점 반력
답: RA = 47 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.
자유물체도
지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, 작용점 x̄ = 6 m
ΣMA = 0: RB·8 = 60·2 + 2·4·6
RB = 168/8 = 21 kN
ΣFy = 0: RA = 68 − 21 = 47 kN
답
RA = 47 kN
5.트러스: 절점법
답: FAB = −5.657 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·5 = 20·4 → Cy = 16 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 16 = 4 kN
절점 A
모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.
sin α = 4/5.657 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −4/0.7071 = −5.657 kN
답
FAB = −5.657 kN (압축)
6.트러스: 절점법
답: FAC = 10.42 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·6 = 55·1 − 15·2 → Cy = 4.167 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 4.167 = 50.83 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN
절점 C
롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.
sin γ = 2/5.385 = 0.3714, cos γ = 5/5.385 = 0.9285
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
2력 부재 BC
BC = √(3.2² + 2²) = 3.774 m
프레임 전체: A에 대한 모멘트
지면은 C에서 CB를 따라 BC를 밉니다. 그 수평 성분은 A를 지나므로 수직 성분만 모멘트를 가집니다.
FBC·(2/3.774)·8 = 8·1.92
FBC = 3.623 kN (압축)
답
FBC = 3.623 kN
8.프레임과 기계
답: Ax = 1.8 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
BC의 방향
BC = 3.124 m, cos = 0.7682, sin = 0.6402
프레임 전체: A에 대한 모멘트
FBC·0.6402·6 = 5·1.8 + 6·2
FBC = 5.467 kN
수평 평형
Ax + 6 − 5.467·0.7682 = 0
Ax = −1.8 kN → |Ax| = 1.8 kN
답
Ax = 1.8 kN
음의 부호는 Ax가 왼쪽을 향한다는 뜻입니다.
9.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 2.625 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, 작용점 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 3·4·2
RB = 24/4 = 6 kN
ΣFy = 0: RA = 12 − 6 = 6 kN
x = 3.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 6·3.5 − 3·3.5·1.75 = 2.625 kN·m
답
Mx = 2.625 kN·m
10.전단력과 휨 모멘트
답: B (x = 1 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 66.25 kN, R2 = 58.75 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = −35 kN·m, MC = −11.25, MD = −2.5, ME = −8.75, MF = −30, MG = 0
답
표시점 B: MB = −35 kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 14.74 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 200·20 = 4000 mm², yf = 160 + 20/2 = 170 mm