수평 보 AB가 A에서 벽에 핀으로 연결되어 있고, A보다 0.75 m 아래의 C에서 벽에 핀으로 연결된 지주 CD가 받치고 있습니다. B에 10 kN의 하중이 매달려 있습니다. 자중은 무시합니다. A에서 보에 작용하는 핀 힘의 크기 A을(를) 구하시오.
P = 10 kNAD = 1.2 mAB = 3 mAC = 0.75 m
A = kN
8.프레임과 기계어려움
그림의 A형 프레임은 A의 핀과 B의 롤러 위에 서 있으며 둘 사이는 4 m입니다. 두 다리는 높이 2.4 m의 핀 C에서 만나고, 높이 0.6 m의 수평 막대 DE로 묶여 있습니다. C에 오른쪽으로 향하는 4 kN의 수평 힘이 작용합니다. 타이의 장력 T을(를) 구하시오.
P = 4 kNAB = 4 mC의 높이 = 2.4 mDE의 높이 = 0.6 m
T = kN
9.전단력과 휨 모멘트보통
캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 2 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 x = 0.5 m인 단면에서 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 2 mP = 75 kN 위치 2 mw = 3 kN/m, 0부터 2 m까지x = 0.5 m
Mx = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용하고 집중 하중 P도 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.
L = 6 mP = 60 kN 위치 3 mw = 3 kN/m, 0부터 6 m까지
Mmax = kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
bf = 300 mmtf = 30 mmtw = 20 mmhw = 200 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
150 mm × 200 mm 판에 폭 30 mm, 높이 30 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 80 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 150 mmh = 200 mm절취부: 30 × 30 mm구멍 중심: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3용액
1.벡터: 내적과 외적
답: W = −145 J
내적:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ는 스칼라입니다. 두 벡터 사이의 각도를 cos θ = a·b/(|a|·|b|)로 구할 수 있고, 두 벡터가 수직이면 0입니다. a를 b 위에 투영한 스칼라 투영은 a·b/|b|이며, 일정한 힘 F가 변위 d만큼 움직이는 동안 한 일은 W = F·d입니다.
변위
d = B − A = (−2, 0, 5) − (−3, 2, 2) = (1, −2, 3) m
일
W = F·d = (−5)·1 + 25·(−2) + (−30)·3 = −145 J
답
W = −145 J
음의 일: 힘이 대부분 운동에 반대로 작용합니다.
2.벡터: 내적과 외적
답: n̂y = −0.4444
외적:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)는 두 벡터에 모두 수직이고, |a × b| = |a|·|b|·sin θ는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이입니다(삼각형은 그 절반). 순서가 중요합니다: b × a = −(a × b). 점 A에 작용하는 힘 F의 점 O에 대한 모멘트는 MO = r × F이며, r = A − O입니다.
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·8 = 15·2 + 5·3 → Cy = 5.625 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 5.625 = 9.375 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN
절점 A
모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.
sin α = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −9.375/0.8321 = −11.27 kN
답
FAB = −11.27 kN (압축)
7.프레임과 기계
답: A = 42.72 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
지주의 힘
FCD = 10·3/(0.53·1.2) = 47.17 kN
A에서의 성분
Ax = FCD·cos α = 40 kN (벽 쪽으로)
Ay = 10 − FCD·sin α = −15 kN
크기
A = √(40² + −15²) = 42.72 kN
답
A = 42.72 kN
Ay가 음수이면 벽이 A에서 보를 아래로 당긴다는 뜻입니다.
8.프레임과 기계
답: T = 2.667 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
프레임 전체: A에 대한 모멘트
By·4 = 4·2.4
By = 2.4 kN
다리 BC: C에 대한 모멘트
2.4·2 = T·1.8
T = 2.667 kN
답
T = 2.667 kN
T가 양수이면 타이는 가정한 대로 인장을 받습니다.
9.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = −115.9 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
자유단 쪽 부분을 남긴다
P: −75·1.5 = −112.5 kN·m
w: −3·1.5²/2 = −3.375 kN·m
Mx = −112.5 − 3.375 = −115.9 kN·m
답
Mx = −115.9 kN·m
음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.
10.전단력과 휨 모멘트
답: Mmax = 103.5 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·3 + 3·6·3
RB = 234/6 = 39 kN
ΣFy = 0: RA = 78 − 39 = 39 kN
V = 0인 곳은?
V(3⁻) = RA − w·3 = 30 kN
V(3⁺) = 30 − 60 = −30 kN
전단력이 하중 위치에서 부호가 바뀌므로 최댓값은 하중 아래에 있습니다.
최대 모멘트
Mmax = RA·3 − w·3²/2 = 39·3 − 3·3²/2 = 103.5 kN·m
답
Mmax = 103.5 kN·m
A에서 x = 3 m인 곳에서 생깁니다.
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 50.63 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 300·30 = 9000 mm², yf = 200 + 30/2 = 215 mm
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.