그림의 벨 크랭크는 핀 O를 중심으로 회전합니다. A(O에서 240 mm)의 300 N 수직 힘이 B(O보다 75 mm 위)의 수평 힘과 평형을 이룹니다. 핀 반력의 크기 FO을(를) 구하시오.
F = 300 NOA = 240 mmOB = 75 mm
FO = N
8.프레임과 기계어려움
토글 프레스에 핀 사이 길이가 각각 120 mm인 같은 링크 AB와 BC가 있습니다. 이음부 B는 선 AC 위 8 mm에 있습니다. 슬라이더 C에서 2000 N의 수평 압력을 내려면 B에 가하는 아래 방향 힘 F은(는) 얼마여야 합니까? 마찰과 자중은 무시합니다.
Q = 2000 NAB = BC = 120 mmh = 8 mm
F = N
9.전단력과 휨 모멘트보통
보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 1 m만큼 내밀어져 있다. 지점 사이에 집중 하중 P1, C에 집중 하중 P2이 작용한다. 하중 P1 아래의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 9 mP1 = 55 kN 위치 5 mP2 = 20 kN 위치 9 mx = 0과 x = 8 m에 지점
Mx = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
40 kN @ 6 m25 kN @ 2 m10 kN/m, 0–5 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
원형 관의 바깥지름은 D = 120 mm, 안지름은 d = 104 mm이다. 수평 도심축에 대한 회전 반지름 r을(를) 구하시오.
D = 120 mmd = 104 mm
r = mm
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
주철 보는 그림과 같은 T형 단면이며 플랜지가 위에 있다. 허용 응력은 인장 30 MPa, 압축 120 MPa이다. 보가 견딜 수 있는 최대 부(負) 휨 모멘트 Mallow을(를) 구하시오(크기로 답하시오).
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
내적이 0
a·b = 5·k + 6·(−3) + (−6)·(−4) = 0
6 + 5·k = 0
k 구하기
k = −6/5 = −1.2
답
k = −1.2
2.벡터: 내적과 외적
답: A = 34.19
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
외적
(a × b)x = aybz − azby = 4·(−6) − 2·(−1) = −22
(a × b)y = azbx − axbz = 2·(−2) − 5·(−6) = 26
(a × b)z = axby − aybx = 5·(−1) − 4·(−2) = 3
면적
A = |a × b| = √((−22)² + 26² + 3²) = 34.19
답
A = 34.19
3.보의 지점 반력
답: MA = 143.1 kN·m
캔틸레버의 평형: 고정 지점은 위로 밀 수 있고 회전에도 저항하므로 연직 반력 RA와 반력 모멘트 MA를 줍니다. ΣFy = 0에서 RA가 나오고, 벽에 대한 모멘트에서 MA = Σ(하중 × 벽으로부터의 거리)가 나옵니다. 분포 하중은 하중도의 도심에 작용하는 합력으로 작용합니다.
분포 하중의 합력
W = 5·3.5 = 17.5 kN, x̄ = 1.75 m
벽에 대한 모멘트
MA = P·a + W·x̄ = 75·1.5 + 17.5·1.75 = 143.1 kN·m
답
MA = 143.1 kN·m
4.보의 지점 반력
답: RA = 35 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.
자유물체도
지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, 작용점 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 50·2 + 10·2·2
RB = 140/4 = 35 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 35 = 35 kN
답
RA = 35 kN
5.트러스: 절점법
답: FAB = −12.02 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·6 = 15·2 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 5 = 10 kN
절점 A
모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.
sin α = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −10/0.8321 = −12.02 kN
답
FAB = −12.02 kN (압축)
6.트러스: 절점법
답: FBC = 9.004 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·8 = 25·3 − 30·4 → Cy = −5.625 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − −5.625 = 30.63 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN
절점 C
롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.
sin γ = 4/6.403 = 0.6247, cos γ = 5/6.403 = 0.7809
기계: 펜치, 레버, 링크 기구, 클램프는 입력 힘을 더 큰 힘이나 다른 방향의 출력 힘으로 바꿉니다. 한 부품을 자유물체로 그리고 회전축에 대해 모멘트를 취하세요: 핀 힘은 사라지고, Fin·a = Fout·b에서 기계적 이득 a/b가 나옵니다. 핀 힘은 같은 부품에 ΣF = 0을 적용하면 구해집니다. 토글에서는 두 링크가 얕은 각 θ로 만납니다. 각 링크는 2력 부재이므로 이음부의 작은 힘 F가 큰 링크 힘 F/(2 sin θ)와 조임력 F/(2 tan θ)를 만듭니다.
B에서의 힘
Q = 300·240/75 = 960 N
핀 반력
Ox = 960 N, Oy = 300 N
FO = √(960² + 300²) = 1006 N
답
FO = 1006 N
8.프레임과 기계
답: F = 267.3 N
기계: 펜치, 레버, 링크 기구, 클램프는 입력 힘을 더 큰 힘이나 다른 방향의 출력 힘으로 바꿉니다. 한 부품을 자유물체로 그리고 회전축에 대해 모멘트를 취하세요: 핀 힘은 사라지고, Fin·a = Fout·b에서 기계적 이득 a/b가 나옵니다. 핀 힘은 같은 부품에 ΣF = 0을 적용하면 구해집니다. 토글에서는 두 링크가 얕은 각 θ로 만납니다. 각 링크는 2력 부재이므로 이음부의 작은 힘 F가 큰 링크 힘 F/(2 sin θ)와 조임력 F/(2 tan θ)를 만듭니다.
링크 각
sin θ = 8/120 = 0.06667, θ = 3.823°
링크 힘
Flink = Q/cos θ = 2004 N
B에서의 힘
F = 2·Flink·sin θ = 2·2000·tan θ = 267.3 N
답
F = 267.3 N
9.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 90.63 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형입니다. 내민 부분의 하중도 A에 대해 모멘트를 만듭니다.
ΣMA = 0: RB·8 = 55·5 + 20·9
RB = 455/8 = 56.88 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 56.88 = 18.13 kN
P1 아래에서 자르고 왼쪽 부분을 남긴다
Mx = RA·5 = 18.13·5 = 90.63 kN·m
답
Mx = 90.63 kN·m
10.전단력과 휨 모멘트
답: C (x = 2 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 32 kN, R2 = 83 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = 27, MC = 44 kN·m, MD = 26, ME = −2, MF = −40, MG = 0
답
표시점 C: MC = 44 kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: r = 39.7 mm
단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = Ic + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다. 회전 반지름 r = √(I/A)은 전체 면적이 같은 I를 주게 되는 거리이며, 기둥 좌굴에 쓰입니다.
순단면적과 단면 2차 모멘트
A = π(D² − d²)/4 = 2815 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 4.436 × 10⁶ mm⁴
회전 반지름
r = √(I/A) = √(4.436 × 10⁶/2815) = 39.7 mm
답
r = 39.7 mm
12.도심과 단면 2차 모멘트
답: Mallow = 19.21 kN·m
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.