내적:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ는 스칼라입니다. 두 벡터 사이의 각도를 cos θ = a·b/(|a|·|b|)로 구할 수 있고, 두 벡터가 수직이면 0입니다. a를 b 위에 투영한 스칼라 투영은 a·b/|b|이며, 일정한 힘 F가 변위 d만큼 움직이는 동안 한 일은 W = F·d입니다.
변위
d = B − A = (3, −1, 2) − (−1, −5, −4) = (4, 4, 6) m
일
W = F·d = (−15)·4 + 5·4 + 25·6 = 110 J
답
W = 110 J
2.벡터: 내적과 외적
답: V = 38
외적:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)는 두 벡터에 모두 수직이고, |a × b| = |a|·|b|·sin θ는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이입니다(삼각형은 그 절반). 순서가 중요합니다: b × a = −(a × b). 점 A에 작용하는 힘 F의 점 O에 대한 모멘트는 MO = r × F이며, r = A − O입니다.
외적 b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 3·(−3) − 2·5 = −19
(b × c)y = bzcx − bxcz = 2·(−4) − 1·(−3) = −5
(b × c)z = bxcy − bycx = 1·5 − 3·(−4) = 17
a와의 내적
a·(b × c) = 2·(−19) + (−5)·(−5) + 3·17 = 38
V = |38| = 38
답
V = 38
3.보의 지점 반력
답: RB = 18.75 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.
A에 대한 모멘트
반시계 방향을 양으로.
ΣMA = 0: RB·8 − 40·3 − 30 = 0
RB = 150/8 = 18.75 kN
연직 방향 평형
RA = 40 − 18.75 = 21.25 kN
답
RB = 18.75 kN
음의 반력은 아래로 작용합니다.
4.보의 지점 반력
답: RA = 30.88 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.
자유물체도
지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 35·1.5 + 8·3·2.5
RB = 112.5/4 = 28.13 kN
ΣFy = 0: RA = 59 − 28.13 = 30.88 kN
답
RA = 30.88 kN
5.트러스: 절점법
답: FAB = −18.03 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·8 = 20·2 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 5 = 15 kN
절점 A
모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.
sin α = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −15/0.8321 = −18.03 kN
답
FAB = −18.03 kN (압축)
6.트러스: 절점법
답: FBC = −20.96 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·8 = 15·6 + 15·4 → Cy = 18.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 18.75 = −3.75 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN
절점 C
롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.
sin γ = 4/4.472 = 0.8944, cos γ = 2/4.472 = 0.4472
기계: 펜치, 레버, 링크 기구, 클램프는 입력 힘을 더 큰 힘이나 다른 방향의 출력 힘으로 바꿉니다. 한 부품을 자유물체로 그리고 회전축에 대해 모멘트를 취하세요: 핀 힘은 사라지고, Fin·a = Fout·b에서 기계적 이득 a/b가 나옵니다. 핀 힘은 같은 부품에 ΣF = 0을 적용하면 구해집니다. 토글에서는 두 링크가 얕은 각 θ로 만납니다. 각 링크는 2력 부재이므로 이음부의 작은 힘 F가 큰 링크 힘 F/(2 sin θ)와 조임력 F/(2 tan θ)를 만듭니다.
핀 B의 평형
2·Flink·sin 10° = 250
Flink = 719.8 N
조임력
Q = Flink·cos 10° = 250/(2·tan 10°) = 708.9 N
답
Q = 708.9 N
링크가 펴질수록 힘의 비 Q/F = 2.836는 한없이 커집니다.
8.프레임과 기계
답: A = 30.63 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
케이블 장력
T = (12 + 0.5/2)/0.3714 = 32.98 kN
A에서의 성분
Ax = T·cos β = 30.63 kN
Ay = 12 + 0.5 − T·sin β = 0.25 kN
크기
A = √(30.63² + 0.25²) = 30.63 kN
답
A = 30.63 kN
9.전단력과 휨 모멘트
답: D (x = 3 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 50 kN, R2 = 50 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = 42.5, MC = 70, MD = 82.5 kN·m, ME = 70, MF = 42.5, MG = 0
답
표시점 D: MD = 82.5 kN·m
10.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 30 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 15·3.5 + 5·6·3
RB = 142.5/6 = 23.75 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 23.75 = 21.25 kN
x = 4.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.