그림의 토글 클램프에서 같은 길이의 두 링크 AB와 BC가 B에서 핀으로 연결되어 있고, 각각 선 AC와 5°를 이룹니다. B에 500 N의 아래 방향 힘이 가해집니다. 슬라이더 C가 공작물을 누릅니다. 마찰과 자중을 무시하고 수평 조임력 Q을(를) 구하시오.
F = 500 Nθ = 5°
Q = N
8.프레임과 기계어려움
그림의 A형 프레임은 A의 핀과 B의 롤러 위에 서 있으며 둘 사이는 2 m이고, 꼭대기 핀 C의 높이는 4 m, 수평 타이 DE는 지면 위 2 m에 있습니다. 다리 AC 위의 K에 12 kN의 수직 하중이 작용하며 K는 A에서 (수평으로) 0.25 m 떨어져 있습니다. 핀 C가 다리 BC에 가하는 힘의 크기 C을(를) 구하시오.
P = 12 kNAB = 2 mC의 높이 = 4 mDE의 높이 = 2 mA에서 K까지의 수평 거리 = 0.25 m
C = kN
9.전단력과 휨 모멘트보통
지점 A에서 x = 9 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 10 mw = 5 kN/m, 0부터 10 m까지x = 9 m
Mx = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
40 kN @ 0 m45 kN @ 12 m10 kN/m, 2–10 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
ㄷ형강 단면이 열린 쪽을 위로 하여 놓여 있다. 폭 160 mm의 밑판에 두 개의 세운 다리가 있으며 전체 높이는 70 mm이다. 밑판과 다리의 두께는 모두 14 mm이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 160 mmh = 70 mmt = 14 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
120 mm × 200 mm 판에 폭 80 mm, 높이 20 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 120 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 120 mmh = 200 mm절취부: 80 × 20 mm구멍 중심: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3용액
1.벡터: 내적과 외적
답: compb a = −2.858
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
내적
a·b = 3·(−3) + 0·(−3) + (−2)·6 = −21
b의 길이
|b| = √((−3)² + (−3)² + 6²) = 7.348
스칼라 투영
compb a = a·b/|b| = −21/7.348 = −2.858
답
compb a = −2.858
음수: a는 b와 반대 방향의 성분을 가집니다.
2.벡터: 내적과 외적
답: A = 26.31
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.
A에 대한 모멘트
반시계 방향을 양으로.
ΣMA = 0: RB·3.5 = 75·2.5 + 35·5
RB = 362.5/3.5 = 103.6 kN
연직 방향 평형
RA = 75 + 35 − 103.6 = 6.429 kN
답
RB = 103.6 kN
4.보의 지점 반력
답: RA = 5.625 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.
자유물체도
지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, 작용점 x̄ = 4.5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·7 + 2·5·4.5
RB = 115/8 = 14.38 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 14.38 = 5.625 kN
답
RA = 5.625 kN
5.트러스: 절점법
답: 부재 BF
영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.
절점 B
AB과 BC은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 BF만 남습니다.
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·6 = 60·1 − 30·2 → Cy = 0 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 0 = 60 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN
절점 A
모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.
sin α = 2/2.236 = 0.8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −60/0.8944 = −67.08 kN
답
FAB = −67.08 kN (압축)
7.프레임과 기계
답: Q = 2858 N
기계: 펜치, 레버, 링크 기구, 클램프는 입력 힘을 더 큰 힘이나 다른 방향의 출력 힘으로 바꿉니다. 한 부품을 자유물체로 그리고 회전축에 대해 모멘트를 취하세요: 핀 힘은 사라지고, Fin·a = Fout·b에서 기계적 이득 a/b가 나옵니다. 핀 힘은 같은 부품에 ΣF = 0을 적용하면 구해집니다. 토글에서는 두 링크가 얕은 각 θ로 만납니다. 각 링크는 2력 부재이므로 이음부의 작은 힘 F가 큰 링크 힘 F/(2 sin θ)와 조임력 F/(2 tan θ)를 만듭니다.
핀 B의 평형
2·Flink·sin 5° = 500
Flink = 2868 N
조임력
Q = Flink·cos 5° = 500/(2·tan 5°) = 2858 N
답
Q = 2858 N
링크가 펴질수록 힘의 비 Q/F = 5.715는 한없이 커집니다.
8.프레임과 기계
답: C = 1.677 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
B의 지점 반력
By = 12·0.25/2 = 1.5 kN
타이 힘
T = 1.5·1/2 = 0.75 kN
BC에 작용하는 핀 힘
Cx = 0.75 kN, Cy = −1.5 kN
C = √(0.75² + 1.5²) = 1.677 kN
답
C = 1.677 kN
9.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 22.5 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, 작용점 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 5·10·5
RB = 250/10 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN
x = 9 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 25·9 − 5·9·4.5 = 22.5 kN·m
답
Mx = 22.5 kN·m
10.전단력과 휨 모멘트
답: F (x = 10 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 78.75 kN, R2 = 86.25 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = −80, MC = −22.5, MD = −5, ME = −27.5, MF = −90 kN·m, MG = 0
답
표시점 F: MF = −90 kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 1.576 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
직사각형으로 나누기
밑판은 전체 폭으로, 두 다리는 그 위의 높이(h − t)로 잡으면 중복 계산이 없습니다.
기제: A1 = 160·14 = 2240 mm², y1 = 7 mm
두 다리: A2 = 2·14·56 = 1568 mm², y2 = 14 + 56/2 = 42 mm
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (24000·100 − 1600·120)/(24000 − 1600) = 98.57 mm