그림의 토글 클램프에서 같은 길이의 두 링크 AB와 BC가 B에서 핀으로 연결되어 있고, 각각 선 AC와 25°를 이룹니다. B에 400 N의 아래 방향 힘이 가해집니다. 슬라이더 C가 공작물을 누릅니다. 마찰과 자중을 무시하고 수평 조임력 Q을(를) 구하시오.
F = 400 Nθ = 25°
Q = N
8.프레임과 기계어려움
그림의 프레임에는 A, B, C에 핀이 있습니다. A와 C는 4 m 떨어져 지면에 고정되어 있고, B는 높이 2.5 m, A의 오른쪽 1.2 m에 있습니다. 부재 AB는 A에서 (수평으로) 0.72 m 떨어진 K에서 8 kN의 수직 하중을 받고, B에서는 오른쪽으로 향하는 2 kN의 수평 하중이 부재 AB에 작용합니다. A의 수평 반력 Ax의 크기를 구하시오.
P = 8 kNQ = 2 kNL = 4 mH = 2.5 mA에서 B까지의 수평 거리 = 1.2 mA에서 K까지의 수평 거리 = 0.72 m
Ax = kN
9.전단력과 휨 모멘트보통
캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 2.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 x = 1 m인 단면에서 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 2.5 mP = 55 kN 위치 2.5 mw = 12 kN/m, 0부터 2.5 m까지x = 1 m
Mx = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
35 kN @ 0 m40 kN @ 12 m55 kN @ 6 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
bf = 120 mmtf = 30 mmtw = 16 mmhw = 300 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 15 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ위의 크기를 구하시오.
내적:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ는 스칼라입니다. 두 벡터 사이의 각도를 cos θ = a·b/(|a|·|b|)로 구할 수 있고, 두 벡터가 수직이면 0입니다. a를 b 위에 투영한 스칼라 투영은 a·b/|b|이며, 일정한 힘 F가 변위 d만큼 움직이는 동안 한 일은 W = F·d입니다.
내적
a·b = 4·(−4) + 1·(−4) + 4·(−3) = −32
b의 길이
|b| = √((−4)² + (−4)² + (−3)²) = 6.403
스칼라 투영
compb a = a·b/|b| = −32/6.403 = −4.998
답
compb a = −4.998
음수: a는 b와 반대 방향의 성분을 가집니다.
2.벡터: 내적과 외적
답: n̂y = 0.2408
외적:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)는 두 벡터에 모두 수직이고, |a × b| = |a|·|b|·sin θ는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이입니다(삼각형은 그 절반). 순서가 중요합니다: b × a = −(a × b). 점 A에 작용하는 힘 F의 점 O에 대한 모멘트는 MO = r × F이며, r = A − O입니다.
외적
(a × b)x = aybz − azby = (−5)·2 − 2·(−1) = −8
(a × b)y = azbx − axbz = 2·0 − (−1)·2 = 2
(a × b)z = axby − aybx = (−1)·(−1) − (−5)·0 = 1
정규화
a × b의 z성분은 이미 양수입니다.
|a × b| = √((−8)² + 2² + 1²) = 8.307
n̂ = (−8, 2, 1)/8.307 = (−0.9631, 0.2408, 0.1204)
n̂y = 0.2408
답
n̂y = 0.2408
3.보의 지점 반력
답: RB = 160 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.
A에 대한 모멘트
반시계 방향을 양으로.
ΣMA = 0: RB·3 = 65·2 + 70·5
RB = 480/3 = 160 kN
연직 방향 평형
RA = 65 + 70 − 160 = −25 kN
답
RB = 160 kN
RA가 음수입니다. A의 힌지가 보를 아래로 붙잡아야 합니다.
4.보의 지점 반력
답: MA = 277.5 kN·m
캔틸레버의 평형: 고정 지점은 위로 밀 수 있고 회전에도 저항하므로 연직 반력 RA와 반력 모멘트 MA를 줍니다. ΣFy = 0에서 RA가 나오고, 벽에 대한 모멘트에서 MA = Σ(하중 × 벽으로부터의 거리)가 나옵니다. 분포 하중은 하중도의 도심에 작용하는 합력으로 작용합니다.
삼각형 하중의 합력
W = ½·20·6 = 60 kN
x̄ = L/3 = 2 m
벽에 대한 모멘트
MA = W·x̄ + P·a = 60·2 + 35·4.5 = 277.5 kN·m
답
MA = 277.5 kN·m
5.트러스: 절점법
답: FAB = −6.667 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·5 = 20·4 → Cy = 16 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 16 = 4 kN
절점 A
모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.
sin α = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −4/0.6 = −6.667 kN
답
FAB = −6.667 kN (압축)
6.트러스: 절점법
답: 부재 CG
영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.
절점 C
BC과 CD은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 CG만 남습니다.
기계: 펜치, 레버, 링크 기구, 클램프는 입력 힘을 더 큰 힘이나 다른 방향의 출력 힘으로 바꿉니다. 한 부품을 자유물체로 그리고 회전축에 대해 모멘트를 취하세요: 핀 힘은 사라지고, Fin·a = Fout·b에서 기계적 이득 a/b가 나옵니다. 핀 힘은 같은 부품에 ΣF = 0을 적용하면 구해집니다. 토글에서는 두 링크가 얕은 각 θ로 만납니다. 각 링크는 2력 부재이므로 이음부의 작은 힘 F가 큰 링크 힘 F/(2 sin θ)와 조임력 F/(2 tan θ)를 만듭니다.
핀 B의 평형
2·Flink·sin 25° = 400
Flink = 473.2 N
조임력
Q = Flink·cos 25° = 400/(2·tan 25°) = 428.9 N
답
Q = 428.9 N
링크가 펴질수록 힘의 비 Q/F = 1.072는 한없이 커집니다.
8.프레임과 기계
답: Ax = 1.013 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
BC의 방향
BC = 3.754 m, cos = 0.7459, sin = 0.666
프레임 전체: A에 대한 모멘트
FBC·0.666·4 = 8·0.72 + 2·2.5
FBC = 4.039 kN
수평 평형
Ax + 2 − 4.039·0.7459 = 0
Ax = 1.013 kN → |Ax| = 1.013 kN
답
Ax = 1.013 kN
Ax는 오른쪽을 향합니다.
9.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = −96 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
자유단 쪽 부분을 남긴다
P: −55·1.5 = −82.5 kN·m
w: −12·1.5²/2 = −13.5 kN·m
Mx = −82.5 − 13.5 = −96 kN·m
답
Mx = −96 kN·m
음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.
10.전단력과 휨 모멘트
답: E (x = 8 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 38.33 kN, R2 = 91.67 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = −70, MC = −63.33, MD = −56.67, ME = −160 kN·m, MF = −80, MG = 0
답
표시점 E: ME = −160 kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 92.28 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 120·30 = 3600 mm², yf = 300 + 30/2 = 315 mm