그림의 A형 프레임은 A의 핀과 B의 롤러 위에 서 있으며 둘 사이는 2.4 m이고, 꼭대기 핀 C의 높이는 4.5 m, 수평 타이 DE는 지면 위 2 m에 있습니다. 다리 AC 위의 K에 20 kN의 수직 하중이 작용하며 K는 A에서 (수평으로) 0.3 m 떨어져 있습니다. 타이의 장력 T을(를) 구하시오.
P = 20 kNAB = 2.4 mC의 높이 = 4.5 mDE의 높이 = 2 mA에서 K까지의 수평 거리 = 0.3 m
T = kN
8.프레임과 기계어려움
무게 0.5 kN의 균일한 수평 붐 AB가 A에서 벽에 핀으로 연결되어 있고, 끝 B에서 A보다 4 m 위의 벽의 점 C까지 케이블로 지지됩니다. B에 5 kN의 하중이 매달려 있습니다. 케이블의 장력 T을(를) 구하시오.
W = 5 kNWb = 0.5 kNAB = 2 mAC = 4 m
T = kN
9.전단력과 휨 모멘트보통
지점 A에서 x = 4 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 6 mw = 4 kN/m, 0부터 6 m까지x = 4 m
Mx = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
단순보의 경간 일부에 등분포 하중이 작용한다. A에서 휨 모멘트가 가장 큰 단면까지의 거리 x0을(를) 구하시오.
L = 8 mw = 20 kN/m, 2부터 8 m까지
x0 = m
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 150 mm, 두께 22 mm이고, 전체 높이는 460 mm, 웨브 두께는 10 mm이다. 수평 도심축 x에 대한 휨의 탄성 단면 계수 Sx을(를) 구하시오.
B = 150 mmH = 460 mmtf = 22 mmtw = 10 mm
Sx = × 10³ mm³
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
용접 I형 단면의 상부 플랜지는 110 × 20 mm, 웨브는 높이 190 mm, 두께 14 mm, 하부 플랜지는 220 × 24 mm(폭 × 두께)이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
내적:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ는 스칼라입니다. 두 벡터 사이의 각도를 cos θ = a·b/(|a|·|b|)로 구할 수 있고, 두 벡터가 수직이면 0입니다. a를 b 위에 투영한 스칼라 투영은 a·b/|b|이며, 일정한 힘 F가 변위 d만큼 움직이는 동안 한 일은 W = F·d입니다.
내적이 0
a·b = (−3)·0 + (−4)·(−4) + 3·k = 0
16 + 3·k = 0
k 구하기
k = −16/3 = −5.333
답
k = −5.333
2.벡터: 내적과 외적
답: (a × b)y = −22
외적:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)는 두 벡터에 모두 수직이고, |a × b| = |a|·|b|·sin θ는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이입니다(삼각형은 그 절반). 순서가 중요합니다: b × a = −(a × b). 점 A에 작용하는 힘 F의 점 O에 대한 모멘트는 MO = r × F이며, r = A − O입니다.
성분별로 구하는 외적
(a × b)x = aybz − azby = 5·(−5) − (−1)·(−4) = −29
(a × b)y = azbx − axbz = (−1)·2 − (−4)·(−5) = −22
(a × b)z = axby − aybx = (−4)·(−4) − 5·2 = 6
요청된 성분
(a × b)y = −22
답
(a × b)y = −22
확인: a × b는 두 벡터에 모두 수직이므로, a 및 b와의 내적이 0입니다.
3.보의 지점 반력
답: RA = 31.25 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.
삼각형 하중의 합력
W = ½·15·8 = 60 kN
x̄ = 2L/3 = 5.333 m
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
ΣMA = 0: RB·8 = 60·5.333 + 45·6
RB = 73.75 kN
RA = 105 − 73.75 = 31.25 kN
답
RA = 31.25 kN
4.보의 지점 반력
답: MA = 342.7 kN·m
캔틸레버의 평형: 고정 지점은 위로 밀 수 있고 회전에도 저항하므로 연직 반력 RA와 반력 모멘트 MA를 줍니다. ΣFy = 0에서 RA가 나오고, 벽에 대한 모멘트에서 MA = Σ(하중 × 벽으로부터의 거리)가 나옵니다. 분포 하중은 하중도의 도심에 작용하는 합력으로 작용합니다.
삼각형 하중의 합력
W = ½·4·8 = 16 kN
x̄ = L/3 = 2.667 m
벽에 대한 모멘트
MA = W·x̄ + P·a = 16·2.667 + 75·4 = 342.7 kN·m
답
MA = 342.7 kN·m
5.트러스: 절점법
답: 부재 BF
영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.
절점 B
AB과 BC은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 BF만 남습니다.
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
프레임 전체: A에 대한 모멘트
By = 20·0.3/2.4 = 2.5 kN
다리 BC: C에 대한 모멘트
2.5·1.2 = T·2.5
T = 1.2 kN
답
T = 1.2 kN
8.프레임과 기계
답: T = 5.87 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
케이블 각도
BC = √(2² + 4²) = 4.472 m, sin β = 0.8944
A에 대한 모멘트
T·0.8944·2 = 5·2 + 0.5·1
T = 5.87 kN
답
T = 5.87 kN
9.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 16 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 4·6·3
RB = 72/6 = 12 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 12 = 12 kN
x = 4 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 12·4 − 4·4·2 = 16 kN·m
답
Mx = 16 kN·m
10.전단력과 휨 모멘트
답: x0 = 4.25 m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 20·6 = 120 kN, 작용점 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 20·6·5
RB = 600/8 = 75 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 75 = 45 kN
전단력 0
전단력은 RA에서 시작해 하중이 없는 구간에서는 일정하고, 하중 구간 안에서는 기울기 w로 감소합니다.
RA − w·(x0 − 2) = 0
x0 = 2 + 45/20 = 4.25 m
답
x0 = 4.25 m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: Sx = 1638 × 10³ mm³
단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = Ic + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다.
바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개
두 빈 부분을 합치면 폭 (B − tw), 높이 hw = H − 2tf이며, 축 x를 공유합니다.