그림의 벨 크랭크는 핀 O를 중심으로 회전합니다. A(O에서 300 mm)의 100 N 수직 힘이 B(O보다 120 mm 위)의 수평 힘과 평형을 이룹니다. 핀 반력의 크기 FO을(를) 구하시오.
F = 100 NOA = 300 mmOB = 120 mm
FO = N
8.프레임과 기계어려움
그림의 A형 프레임은 A의 핀과 B의 롤러 위에 서 있으며 둘 사이는 5 m이고, 꼭대기 핀 C의 높이는 3.6 m, 수평 타이 DE는 지면 위 1.2 m에 있습니다. 다리 AC 위의 K에 12 kN의 수직 하중이 작용하며 K는 A에서 (수평으로) 1.5 m 떨어져 있습니다. 핀 C가 다리 BC에 가하는 힘의 크기 C을(를) 구하시오.
P = 12 kNAB = 5 mC의 높이 = 3.6 mDE의 높이 = 1.2 mA에서 K까지의 수평 거리 = 1.5 m
C = kN
9.전단력과 휨 모멘트보통
캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 2.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 x = 1 m인 단면에서 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 4 mP = 15 kN 위치 2.5 mw = 4 kN/m, 0부터 4 m까지x = 1 m
Mx = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용하고 집중 하중 P도 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.
L = 10 mP = 30 kN 위치 4 mw = 2 kN/m, 0부터 10 m까지
Mmax = kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
bf = 240 mmtf = 15 mmtw = 10 mmhw = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 25 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ위의 크기를 구하시오.
내적:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ는 스칼라입니다. 두 벡터 사이의 각도를 cos θ = a·b/(|a|·|b|)로 구할 수 있고, 두 벡터가 수직이면 0입니다. a를 b 위에 투영한 스칼라 투영은 a·b/|b|이며, 일정한 힘 F가 변위 d만큼 움직이는 동안 한 일은 W = F·d입니다.
외적:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)는 두 벡터에 모두 수직이고, |a × b| = |a|·|b|·sin θ는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이입니다(삼각형은 그 절반). 순서가 중요합니다: b × a = −(a × b). 점 A에 작용하는 힘 F의 점 O에 대한 모멘트는 MO = r × F이며, r = A − O입니다.
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·4 = 15·3 + 25·4 → Cy = 36.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 36.25 = −21.25 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN
절점 A
모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.
sin α = 4/5 = 0.8
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −−21.25/0.8 = 26.56 kN
답
FAB = 26.56 kN (인장)
7.프레임과 기계
답: FO = 269.3 N
기계: 펜치, 레버, 링크 기구, 클램프는 입력 힘을 더 큰 힘이나 다른 방향의 출력 힘으로 바꿉니다. 한 부품을 자유물체로 그리고 회전축에 대해 모멘트를 취하세요: 핀 힘은 사라지고, Fin·a = Fout·b에서 기계적 이득 a/b가 나옵니다. 핀 힘은 같은 부품에 ΣF = 0을 적용하면 구해집니다. 토글에서는 두 링크가 얕은 각 θ로 만납니다. 각 링크는 2력 부재이므로 이음부의 작은 힘 F가 큰 링크 힘 F/(2 sin θ)와 조임력 F/(2 tan θ)를 만듭니다.
B에서의 힘
Q = 100·300/120 = 250 N
핀 반력
Ox = 250 N, Oy = 100 N
FO = √(250² + 100²) = 269.3 N
답
FO = 269.3 N
8.프레임과 기계
답: C = 5.198 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
B의 지점 반력
By = 12·1.5/5 = 3.6 kN
타이 힘
T = 3.6·2.5/2.4 = 3.75 kN
BC에 작용하는 핀 힘
Cx = 3.75 kN, Cy = −3.6 kN
C = √(3.75² + 3.6²) = 5.198 kN
답
C = 5.198 kN
9.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = −40.5 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
자유단 쪽 부분을 남긴다
P: −15·1.5 = −22.5 kN·m
w: −4·3²/2 = −18 kN·m
Mx = −22.5 − 18 = −40.5 kN·m
답
Mx = −40.5 kN·m
음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.
10.전단력과 휨 모멘트
답: Mmax = 96 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, 작용점 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 30·4 + 2·10·5
RB = 220/10 = 22 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 22 = 28 kN
V = 0인 곳은?
V(4⁻) = RA − w·4 = 20 kN
V(4⁺) = 20 − 30 = −10 kN
전단력이 하중 위치에서 부호가 바뀌므로 최댓값은 하중 아래에 있습니다.
최대 모멘트
Mmax = RA·4 − w·4²/2 = 28·4 − 2·4²/2 = 96 kN·m
답
Mmax = 96 kN·m
A에서 x = 4 m인 곳에서 생깁니다.
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 8.408 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 240·15 = 3600 mm², yf = 140 + 15/2 = 147.5 mm