정역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

벡터: 내적과 외적

크기: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
단위 벡터: û = a/|a|
각도에서 성분 구하기: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
내적: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a를 b 위에 투영한 스칼라 투영: a·b/|b|
일: W = F·d
외적: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
넓이: 평행사변형 |a × b|, 삼각형 ½|a × b|
O에 대한 모멘트: M_O = r × F, r = A − O
평행육면체의 부피: V = |a·(b × c)|

방법

모든 벡터를 성분으로 쓰세요. 크기와 각도로 주어진 힘은 F·cos θ와 F·sin θ를 쓰세요.
길이와 방향에는 크기 √(x² + y² + z²)와 단위 벡터 a/|a|를 쓰세요.
각도, 투영, 수직 여부, 일에는 내적을 쓰세요: a·b = |a||b|cos θ.
수직 벡터, 넓이, 모멘트에는 외적을 쓰세요. 세 성분을 조심스럽게 쓰고 순서 a × b를 지키세요.

보의 지점 반력

평형: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
등분포 하중: 합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트: M = F·d

방법

자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
ΣF_y = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

트러스: 절점법

절점법: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
단면법: ΣM = 0 about a cut point
부재력: 양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣF_x = 0과 ΣF_y = 0을 쓰세요.
단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

프레임과 기계

각 부재의 평형: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
2력 부재: 두 핀을 잇는 직선을 따르는 힘
핀 힘: 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대
핀 힘의 크기: F = √(F_x² + F_y²)
레버, 펜치, 벨 크랭크: F_in·a = F_out·b
토글: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
등분포 하중: 합력 w·L이 하중 중앙에 작용

방법

구조 전체를 그리고, 미지수가 3개 이하이면 지점 반력을 구하시오.
2력 부재를 찾으세요: 두 핀에만 하중을 받으므로 그 힘은 두 핀을 잇는 직선을 따릅니다.
프레임을 분해하고 각 부재를 따로 그리세요. 부재가 만나는 곳에서는 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그립니다.
각 부재에 대해 미지의 힘이 작용하는 핀에 대해 모멘트를 취한 다음 ΣF_x = 0과 ΣF_y = 0을 쓰세요. 성분은 마지막에 합쳐 크기로 만듭니다.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2연습 문제

1.벡터: 내적과 외적보통

a = (−1, −3, −5)와 b = (−4, −3, −6)의 내적 a·b을(를) 구하시오.

a = (−1, −3, −5)b = (−4, −3, −6)

a·b =

2.벡터: 내적과 외적어려움

단위 벡터 n̂은(는) a = (−5, −4, −4)와 b = (1, −4, −3)에 모두 수직이고 z성분이 양수이다. 그 x성분 n̂_x을(를) 구하시오.

a = (−5, −4, −4)b = (1, −4, −3)n̂_z > 0

n̂_x =

3.보의 지점 반력보통

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. 연직 지점 반력 R_A을(를) 구하시오.

L = 4 mP₁ = 45 kN 위치 1.5 mP₂ = 40 kN 위치 2 m

R_A = kN

4.보의 지점 반력어려움

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. A에서 0.5 m 떨어진 곳에 수평과 30°를 이루는 하중 P가, A에서 3 m 떨어진 곳에 연직 하중 Q가 작용한다. 힌지 A의 전체 반력 크기 R_A을(를) 구하시오.

L = 4 mP = 75 kN 위치 0.5 m, θ = 30°Q = 35 kN 위치 3 m

R_A = kN

5.트러스: 절점법보통

절점법으로 부재 AB의 부재력 F_AB을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 6 m높이 = 3 mB는 A에서 5 m연직 하중 = 45 kN

F_AB = kN

6.트러스: 절점법어려움

절점법으로 부재 AB의 부재력 F_AB을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 4 m높이 = 4 mB는 A에서 3 m연직 하중 = 50 kN수평 하중 = 15 kN ←

F_AB = kN

7.프레임과 기계보통

그림의 토글 클램프에서 같은 길이의 두 링크 AB와 BC가 B에서 핀으로 연결되어 있고, 각각 선 AC와 12°를 이룹니다. B에 200 N의 아래 방향 힘이 가해집니다. 슬라이더 C가 공작물을 누릅니다. 마찰과 자중을 무시하고 수평 조임력 Q을(를) 구하시오.

F = 200 Nθ = 12°

Q = N

8.프레임과 기계어려움

무게 1.5 kN의 균일한 수평 붐 AB가 A에서 벽에 핀으로 연결되어 있고, B에서 A보다 4 m 위의 벽의 점 C까지 케이블로 지지됩니다. B에 8 kN의 하중이 매달려 있습니다. 핀 반력의 크기 A을(를) 구하시오.

W = 8 kNW_b = 1.5 kNAB = 2 mAC = 4 m

A = kN

9.전단력과 휨 모멘트보통

단순보에 두 개의 집중 하중이 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 M_max을(를) 구하시오.

L = 5 mP₁ = 35 kN 위치 2.5 mP₂ = 30 kN 위치 4 m

M_max = kN·m

10.전단력과 휨 모멘트어려움

지점 A에서 x = 3 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 10 mP = 55 kN 위치 3 mw = 8 kN/m, 0부터 10 m까지x = 3 m

M_x = kN·m

11.도심과 단면 2차 모멘트보통

속이 빈 직사각형(상자형) 단면의 바깥 폭은 B = 300 mm, 바깥 높이는 H = 325 mm, 균일한 벽 두께는 t = 20 mm이다. 수평 도심축에 대한 회전 반지름 r을(를) 구하시오.

B = 300 mmH = 325 mmt = 20 mm

r = mm

12.도심과 단면 2차 모멘트어려움

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 5 kN·m을(를) 받는다. 아래 가장자리의 휨 응력 σ_아래을(를) 구하시오.

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 120 mmM = 5 kN·m

σ_아래 = MPa

3용액

1.벡터: 내적과 외적

답: a·b = 43

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

대응하는 성분끼리 곱하여 더하기

a·b = (−1)·(−4) + (−3)·(−3) + (−5)·(−6) = 4 + 9 + 30 = 43

답

a·b = 43

양수: 두 벡터 사이의 각도가 90°보다 작습니다.

2.벡터: 내적과 외적

답: n̂_x = −0.1296

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

외적

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−4)·(−3) − (−4)·(−4) = −4

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·1 − (−5)·(−3) = −19

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−5)·(−4) − (−4)·1 = 24

정규화

a × b의 z성분은 이미 양수입니다.

|a × b| = √((−4)² + (−19)² + 24²) = 30.87

n̂ = (−4, −19, 24)/30.87 = (−0.1296, −0.6155, 0.7774)

n̂_x = −0.1296

답

n̂_x = −0.1296

3.보의 지점 반력

답: R_A = 48.13 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.

자유물체도

지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·1.5 + 40·2

R_B = 147.5/4 = 36.88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 36.88 = 48.13 kN

답

R_A = 48.13 kN

4.보의 지점 반력

답: R_A = 77.11 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.

P의 성분

P_v = 75·sin 30° = 37.5 kN

P_h = 75·cos 30° = 64.95 kN

반력

ΣM_A = 0: R_B·4 = 37.5·0.5 + 35·3 → R_B = 30.94 kN

A_y = 37.5 + 35 − 30.94 = 41.56 kN

A_x = P_h = 64.95 kN

A의 합력

R_A = √(64.95² + 41.56²) = 77.11 kN

답

R_A = 77.11 kN

5.트러스: 절점법

답: F_AB = −14.58 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·5 → C_y = 37.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 37.5 = 7.5 kN

절점 A

모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.

sin α = 3/5.831 = 0.5145

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −7.5/0.5145 = −14.58 kN

답

F_AB = −14.58 kN (압축)

6.트러스: 절점법

답: F_AB = −34.38 kN

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 50·3 − 15·4 → C_y = 22.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 22.5 = 27.5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

절점 A

모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.

sin α = 4/5 = 0.8

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −27.5/0.8 = −34.38 kN

답

F_AB = −34.38 kN (압축)

7.프레임과 기계

답: Q = 470.5 N

기계: 펜치, 레버, 링크 기구, 클램프는 입력 힘을 더 큰 힘이나 다른 방향의 출력 힘으로 바꿉니다. 한 부품을 자유물체로 그리고 회전축에 대해 모멘트를 취하세요: 핀 힘은 사라지고, F_in·a = F_out·b에서 기계적 이득 a/b가 나옵니다. 핀 힘은 같은 부품에 ΣF = 0을 적용하면 구해집니다. 토글에서는 두 링크가 얕은 각 θ로 만납니다. 각 링크는 2력 부재이므로 이음부의 작은 힘 F가 큰 링크 힘 F/(2 sin θ)와 조임력 F/(2 tan θ)를 만듭니다.

핀 B의 평형

2·F_link·sin 12° = 200

F_link = 481 N

조임력

Q = F_link·cos 12° = 200/(2·tan 12°) = 470.5 N

답

Q = 470.5 N

링크가 펴질수록 힘의 비 Q/F = 2.352는 한없이 커집니다.

8.프레임과 기계

답: A = 4.439 kN

프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.

케이블 장력

T = (8 + 1.5/2)/0.8944 = 9.783 kN

A에서의 성분

A_x = T·cos β = 4.375 kN

A_y = 8 + 1.5 − T·sin β = 0.75 kN

크기

A = √(4.375² + 0.75²) = 4.439 kN

답

A = 4.439 kN

9.전단력과 휨 모멘트

답: M_max = 58.75 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·2.5 + 30·4

R_B = 207.5/5 = 41.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 41.5 = 23.5 kN

각 하중 아래의 모멘트

각 하중의 왼쪽 부분을 남깁니다.

아래 P₁: M = R_A·2.5 = 23.5·2.5 = 58.75 kN·m

아래 P₂: M = R_B·1 = 41.5·1 = 41.5 kN·m

최댓값

M_max = 58.75 kN·m (아래 P₁)

답

M_max = 58.75 kN·m

10.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 199.5 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, 작용점 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·3 + 8·10·5

R_B = 565/10 = 56.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 135 − 56.5 = 78.5 kN

x = 3 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 78.5·3 − 8·3·1.5 = 199.5 kN·m

답

M_x = 199.5 kN·m

11.도심과 단면 2차 모멘트

답: r = 123.5 mm

단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = I_c + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다. 회전 반지름 r = √(I/A)은 전체 면적이 같은 I를 주게 되는 거리이며, 기둥 좌굴에 쓰입니다.

순단면적과 단면 2차 모멘트

b = 260 mm, h = 285 mm

A = BH − bh = 300·325 − 260·285 = 23400 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 3.566 × 10⁸ mm⁴

회전 반지름

r = √(I/A) = √(3.566 × 10⁸/23400) = 123.5 mm

답

r = 123.5 mm

12.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ_아래 = 64.4 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 120 + 15/2 = 127.5 mm

웨브: A_w = 16·120 = 1920 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·127.5 + 1920·60)/5520 = 104 mm

평행축 정리

플랜지: 240·15³/12 + 3600·(127.5 − 104)² = 2.052 × 10⁶ mm⁴

웨브: 16·120³/12 + 1920·(60 − 104)² = 6.025 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.052 × 10⁶ + 6.025 × 10⁶ = 8.077 × 10⁶ mm⁴

휨 응력

아래 가장자리는 축에서 ȳ 떨어져 있습니다.

y = 104 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·104/8.077 × 10⁶ = 64.4 MPa

답

σ_아래 = 64.4 MPa

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