그림의 A형 프레임은 A의 핀과 B의 롤러 위에 서 있으며 둘 사이는 4 m입니다. 두 다리는 높이 4.5 m의 핀 C에서 만나고, 수평 타이 DE는 지면 위 1.5 m에 있습니다. C에 4 kN의 하중이 작용합니다. 핀 C가 다리 BC에 가하는 힘의 크기 C을(를) 구하시오.
P = 4 kNAB = 4 mC의 높이 = 4.5 mDE의 높이 = 1.5 m
C = kN
8.프레임과 기계어려움
그림의 A형 프레임은 A의 핀과 B의 롤러 위에 서 있으며 둘 사이는 4.8 m입니다. 두 다리는 높이 3 m의 핀 C에서 만나고, 높이 1.5 m의 수평 막대 DE로 묶여 있습니다. C에 오른쪽으로 향하는 8 kN의 수평 힘이 작용합니다. 타이의 장력 T을(를) 구하시오.
P = 8 kNAB = 4.8 mC의 높이 = 3 mDE의 높이 = 1.5 m
T = kN
9.전단력과 휨 모멘트보통
지점 A에서 x = 2 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 5 mw = 6 kN/m, 0부터 5 m까지x = 2 m
Mx = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
40 kN @ 0 m15 kN @ 12 m50 kN @ 4 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 240 mm, 두께 18 mm이고, 전체 높이는 360 mm, 웨브 두께는 6 mm이다. 수평 도심축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
B = 240 mmH = 360 mmtf = 18 mmtw = 6 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 120 mm, 두께 22 mm이고, 전체 높이는 360 mm, 웨브 두께는 10 mm이다. 축 x에 대해 휨 모멘트 120 kN·m을(를) 받는다. 웨브와 상부 플랜지가 만나는 곳의 휨 응력 크기 σj을(를) 구하시오.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
성분별로 구하는 외적
(a × b)x = aybz − azby = 6·5 − 5·(−6) = 60
(a × b)y = azbx − axbz = 5·(−6) − 0·5 = −30
(a × b)z = axby − aybx = 0·(−6) − 6·(−6) = 36
요청된 성분
(a × b)x = 60
답
(a × b)x = 60
확인: a × b는 두 벡터에 모두 수직이므로, a 및 b와의 내적이 0입니다.
3.보의 지점 반력
답: RA = 66 kN
캔틸레버의 평형: 고정 지점은 위로 밀 수 있고 회전에도 저항하므로 연직 반력 RA와 반력 모멘트 MA를 줍니다. ΣFy = 0에서 RA가 나오고, 벽에 대한 모멘트에서 MA = Σ(하중 × 벽으로부터의 거리)가 나옵니다. 분포 하중은 하중도의 도심에 작용하는 합력으로 작용합니다.
분포 하중의 합력
W = 6·6 = 36 kN, x̄ = 3 m
연직 방향 평형
RA = P + W = 30 + 36 = 66 kN
답
RA = 66 kN
4.보의 지점 반력
답: RB = 24.5 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.
자유물체도
지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 6·1 = 6 kN, 작용점 x̄ = 4.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 40·3 + 6·1·4.5
RB = 147/6 = 24.5 kN
ΣFy = 0: RA = 46 − 24.5 = 21.5 kN
답
RB = 24.5 kN
5.트러스: 절점법
답: FBC = −18.86 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·6 = 40·2 → Cy = 13.33 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 13.33 = 26.67 kN
절점 C
롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.
sin γ = 4/5.657 = 0.7071, cos γ = 4/5.657 = 0.7071
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
다리 BC로부터 구한 타이 힘
By = 2 kN
T = 2·2/3 = 1.333 kN
BC에 작용하는 핀 힘의 성분
Cx = T = 1.333 kN, Cy = −By = −2 kN
크기
C = √(1.333² + 2²) = 2.404 kN
답
C = 2.404 kN
8.프레임과 기계
답: T = 8 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
프레임 전체: A에 대한 모멘트
By·4.8 = 8·3
By = 5 kN
다리 BC: C에 대한 모멘트
5·2.4 = T·1.5
T = 8 kN
답
T = 8 kN
T가 양수이면 타이는 가정한 대로 인장을 받습니다.
9.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 18 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 6·5·2.5
RB = 75/5 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
x = 2 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 15·2 − 6·2·1 = 18 kN·m
답
Mx = 18 kN·m
10.전단력과 휨 모멘트
답: B (x = 2 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 76.67 kN, R2 = 28.33 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = −80 kN·m, MC = −6.667, MD = −33.33, ME = −60, MF = −30, MG = 0
답
표시점 B: MB = −80 kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 269.9 × 10⁶ mm⁴
단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = Ic + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다.
바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개
두 빈 부분을 합치면 폭 (B − tw), 높이 hw = H − 2tf이며, 축 x를 공유합니다.