내적:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ는 스칼라입니다. 두 벡터 사이의 각도를 cos θ = a·b/(|a|·|b|)로 구할 수 있고, 두 벡터가 수직이면 0입니다. a를 b 위에 투영한 스칼라 투영은 a·b/|b|이며, 일정한 힘 F가 변위 d만큼 움직이는 동안 한 일은 W = F·d입니다.
변위
d = B − A = (−1, 3, 3) − (−2, 4, 0) = (1, −1, 3) m
일
W = F·d = (−10)·1 + (−30)·(−1) + 5·3 = 35 J
답
W = 35 J
2.벡터: 내적과 외적
답: n̂x = 0.3015
외적:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)는 두 벡터에 모두 수직이고, |a × b| = |a|·|b|·sin θ는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이입니다(삼각형은 그 절반). 순서가 중요합니다: b × a = −(a × b). 점 A에 작용하는 힘 F의 점 O에 대한 모멘트는 MO = r × F이며, r = A − O입니다.
캔틸레버의 평형: 고정 지점은 위로 밀 수 있고 회전에도 저항하므로 연직 반력 RA와 반력 모멘트 MA를 줍니다. ΣFy = 0에서 RA가 나오고, 벽에 대한 모멘트에서 MA = Σ(하중 × 벽으로부터의 거리)가 나옵니다. 분포 하중은 하중도의 도심에 작용하는 합력으로 작용합니다.
분포 하중의 합력
W = 3·4 = 12 kN, x̄ = 2 m
연직 방향 평형
RA = P + W = 75 + 12 = 87 kN
답
RA = 87 kN
4.보의 지점 반력
답: RB = 62.94 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.
분포 하중의 합력
W = 6·3.5 = 21 kN, x̄ = (2.5 + 6)/2 = 4.25 m
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
ΣMA = 0: RB·4 = 65·2.5 + 21·4.25
RB = 251.8/4 = 62.94 kN
RA = 86 − 62.94 = 23.06 kN
답
RB = 62.94 kN
5.트러스: 절점법
답: 부재 CG
영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.
절점 G
FG과 GH은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 CG만 남습니다.
영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.
절점 C
BC과 CD은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 CG만 남습니다.
기계: 펜치, 레버, 링크 기구, 클램프는 입력 힘을 더 큰 힘이나 다른 방향의 출력 힘으로 바꿉니다. 한 부품을 자유물체로 그리고 회전축에 대해 모멘트를 취하세요: 핀 힘은 사라지고, Fin·a = Fout·b에서 기계적 이득 a/b가 나옵니다. 핀 힘은 같은 부품에 ΣF = 0을 적용하면 구해집니다. 토글에서는 두 링크가 얕은 각 θ로 만납니다. 각 링크는 2력 부재이므로 이음부의 작은 힘 F가 큰 링크 힘 F/(2 sin θ)와 조임력 F/(2 tan θ)를 만듭니다.
B에서의 힘
Q = 120·240/150 = 192 N
핀 반력
Ox = 192 N, Oy = 120 N
FO = √(192² + 120²) = 226.4 N
답
FO = 226.4 N
8.프레임과 기계
답: F = 804 N
기계: 펜치, 레버, 링크 기구, 클램프는 입력 힘을 더 큰 힘이나 다른 방향의 출력 힘으로 바꿉니다. 한 부품을 자유물체로 그리고 회전축에 대해 모멘트를 취하세요: 핀 힘은 사라지고, Fin·a = Fout·b에서 기계적 이득 a/b가 나옵니다. 핀 힘은 같은 부품에 ΣF = 0을 적용하면 구해집니다. 토글에서는 두 링크가 얕은 각 θ로 만납니다. 각 링크는 2력 부재이므로 이음부의 작은 힘 F가 큰 링크 힘 F/(2 sin θ)와 조임력 F/(2 tan θ)를 만듭니다.
링크 각
sin θ = 15/150 = 0.1, θ = 5.739°
링크 힘
Flink = Q/cos θ = 4020 N
B에서의 힘
F = 2·Flink·sin θ = 2·4000·tan θ = 804 N
답
F = 804 N
9.전단력과 휨 모멘트
답: MA = −86.25 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
자유단 쪽 부분을 남긴다
P: −45·1.5 = −67.5 kN·m
w: −6·2.5²/2 = −18.75 kN·m
MA = −67.5 − 18.75 = −86.25 kN·m
답
MA = −86.25 kN·m
음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.
10.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 45.5 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 45·2.5 + 2·6·3
RB = 148.5/6 = 24.75 kN
ΣFy = 0: RA = 57 − 24.75 = 32.25 kN
x = 4 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 32.25·4 − 45·(4 − 2.5) − 2·4·2 = 45.5 kN·m
답
Mx = 45.5 kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 447.9 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (60000·150 − 1963·180)/(60000 − 1963) = 149 mm
ȳ에 대한 전체 판
200·300³/12 + 60000·1.015² = 450.1 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
π·50⁴/64 + 1963·31.01² = 2.196 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 447.9 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 447.9 × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 68.96 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
세 개의 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
상부 플랜지: A = 1500 mm², y = 239 mm
웨브: A = 2640 mm², y = 124 mm
하부 플랜지: A = 3220 mm², y = 7 mm
도심
ȳ = (1500·239 + 2640·124 + 3220·7)/7360 = 96.25 mm