그림의 벨 크랭크는 핀 O를 중심으로 회전합니다. A(O에서 300 mm)의 100 N 수직 힘이 B(O보다 80 mm 위)의 수평 힘과 평형을 이룹니다. 핀 반력의 크기 FO을(를) 구하시오.
F = 100 NOA = 300 mmOB = 80 mm
FO = N
8.프레임과 기계어려움
그림의 프레임에는 A, B, C에 핀이 있습니다. A와 C는 5 m 떨어져 지면에 고정되어 있고, B는 높이 4 m, A의 오른쪽 1.5 m에 있습니다. 부재 AB는 A에서 (수평으로) 0.9 m 떨어진 K에서 8 kN의 수직 하중을 받고, B에서는 오른쪽으로 향하는 2 kN의 수평 하중이 부재 AB에 작용합니다. A의 수평 반력 Ax의 크기를 구하시오.
P = 8 kNQ = 2 kNL = 5 mH = 4 mA에서 B까지의 수평 거리 = 1.5 mA에서 K까지의 수평 거리 = 0.9 m
Ax = kN
9.전단력과 휨 모멘트보통
캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 3 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 휨 모멘트 MA을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 3 mP = 45 kN 위치 3 mw = 3 kN/m, 0부터 3 m까지
MA = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
45 kN @ 0 m20 kN @ 6 m20 kN @ 2 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
bf = 180 mmtf = 15 mmtw = 12 mmhw = 160 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 25 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ위의 크기를 구하시오.
내적:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ는 스칼라입니다. 두 벡터 사이의 각도를 cos θ = a·b/(|a|·|b|)로 구할 수 있고, 두 벡터가 수직이면 0입니다. a를 b 위에 투영한 스칼라 투영은 a·b/|b|이며, 일정한 힘 F가 변위 d만큼 움직이는 동안 한 일은 W = F·d입니다.
변위
d = B − A = (4, −1, −4) − (−5, 2, −2) = (9, −3, −2) m
일
W = F·d = (−25)·9 + 15·(−3) + 15·(−2) = −300 J
답
W = −300 J
음의 일: 힘이 대부분 운동에 반대로 작용합니다.
2.벡터: 내적과 외적
답: Mx = −160 N·m
외적:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)는 두 벡터에 모두 수직이고, |a × b| = |a|·|b|·sin θ는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이입니다(삼각형은 그 절반). 순서가 중요합니다: b × a = −(a × b). 점 A에 작용하는 힘 F의 점 O에 대한 모멘트는 MO = r × F이며, r = A − O입니다.
O에서 A로 가는 위치 벡터
r = A − O = (−4, −1, 0) − (0, 3, 2) = (−4, −4, −2) m
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.
자유물체도
지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
ΣMA = 0: RB·10 = 10·4 + 50·9
RB = 490/10 = 49 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 49 = 11 kN
답
RA = 11 kN
4.보의 지점 반력
답: RB = 51.63 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.
자유물체도
지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, 작용점 x̄ = 7 m
ΣMA = 0: RB·8 = 35·7 + 12·2·7
RB = 413/8 = 51.63 kN
ΣFy = 0: RA = 59 − 51.63 = 7.375 kN
답
RB = 51.63 kN
5.트러스: 절점법
답: 부재 CG
영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.
절점 G
FG과 GH은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 CG만 남습니다.
영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.
절점 C
BC과 CD은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 CG만 남습니다.
기계: 펜치, 레버, 링크 기구, 클램프는 입력 힘을 더 큰 힘이나 다른 방향의 출력 힘으로 바꿉니다. 한 부품을 자유물체로 그리고 회전축에 대해 모멘트를 취하세요: 핀 힘은 사라지고, Fin·a = Fout·b에서 기계적 이득 a/b가 나옵니다. 핀 힘은 같은 부품에 ΣF = 0을 적용하면 구해집니다. 토글에서는 두 링크가 얕은 각 θ로 만납니다. 각 링크는 2력 부재이므로 이음부의 작은 힘 F가 큰 링크 힘 F/(2 sin θ)와 조임력 F/(2 tan θ)를 만듭니다.
B에서의 힘
Q = 100·300/80 = 375 N
핀 반력
Ox = 375 N, Oy = 100 N
FO = √(375² + 100²) = 388.1 N
답
FO = 388.1 N
8.프레임과 기계
답: Ax = 0.66 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
BC의 방향
BC = 5.315 m, cos = 0.6585, sin = 0.7526
프레임 전체: A에 대한 모멘트
FBC·0.7526·5 = 8·0.9 + 2·4
FBC = 4.039 kN
수평 평형
Ax + 2 − 4.039·0.6585 = 0
Ax = 0.66 kN → |Ax| = 0.66 kN
답
Ax = 0.66 kN
Ax는 오른쪽을 향합니다.
9.전단력과 휨 모멘트
답: MA = −148.5 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
자유단 쪽 부분을 남긴다
P: −45·3 = −135 kN·m
w: −3·3²/2 = −13.5 kN·m
MA = −135 − 13.5 = −148.5 kN·m
답
MA = −148.5 kN·m
음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.
10.전단력과 휨 모멘트
답: B (x = 1 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 60 kN, R2 = 25 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = −45 kN·m, MC = −30, MD = −35, ME = −40, MF = −20, MG = 0
답
표시점 B: MB = −45 kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 12.74 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 180·15 = 2700 mm², yf = 160 + 15/2 = 167.5 mm