정역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

벡터: 내적과 외적

크기: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
단위 벡터: û = a/|a|
각도에서 성분 구하기: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
내적: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a를 b 위에 투영한 스칼라 투영: a·b/|b|
일: W = F·d
외적: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
넓이: 평행사변형 |a × b|, 삼각형 ½|a × b|
O에 대한 모멘트: M_O = r × F, r = A − O
평행육면체의 부피: V = |a·(b × c)|

방법

모든 벡터를 성분으로 쓰세요. 크기와 각도로 주어진 힘은 F·cos θ와 F·sin θ를 쓰세요.
길이와 방향에는 크기 √(x² + y² + z²)와 단위 벡터 a/|a|를 쓰세요.
각도, 투영, 수직 여부, 일에는 내적을 쓰세요: a·b = |a||b|cos θ.
수직 벡터, 넓이, 모멘트에는 외적을 쓰세요. 세 성분을 조심스럽게 쓰고 순서 a × b를 지키세요.

보의 지점 반력

평형: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
등분포 하중: 합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트: M = F·d

방법

자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
ΣF_y = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

트러스: 절점법

절점법: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
단면법: ΣM = 0 about a cut point
부재력: 양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣF_x = 0과 ΣF_y = 0을 쓰세요.
단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

프레임과 기계

각 부재의 평형: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
2력 부재: 두 핀을 잇는 직선을 따르는 힘
핀 힘: 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대
핀 힘의 크기: F = √(F_x² + F_y²)
레버, 펜치, 벨 크랭크: F_in·a = F_out·b
토글: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
등분포 하중: 합력 w·L이 하중 중앙에 작용

방법

구조 전체를 그리고, 미지수가 3개 이하이면 지점 반력을 구하시오.
2력 부재를 찾으세요: 두 핀에만 하중을 받으므로 그 힘은 두 핀을 잇는 직선을 따릅니다.
프레임을 분해하고 각 부재를 따로 그리세요. 부재가 만나는 곳에서는 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그립니다.
각 부재에 대해 미지의 힘이 작용하는 핀에 대해 모멘트를 취한 다음 ΣF_x = 0과 ΣF_y = 0을 쓰세요. 성분은 마지막에 합쳐 크기로 만듭니다.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2연습 문제

1.벡터: 내적과 외적보통

벡터 a = (6, −5, −4)와 b = (1, −1, k)가 서로 수직이 되는 k의 값을 구하시오.

a = (6, −5, −4)b = (1, −1, k)

k =

2.벡터: 내적과 외적어려움

단위 벡터 n̂은(는) a = (0, −3, 1)와 b = (−3, −2, −4)에 모두 수직이고 z성분이 양수이다. 그 x성분 n̂_x을(를) 구하시오.

a = (0, −3, 1)b = (−3, −2, −4)n̂_z > 0

n̂_x =

3.보의 지점 반력보통

단순보(A에 힌지, B에 롤러)에 A의 12 kN/m에서 B의 0까지 선형으로 감소하는 분포 하중이 작용한다. A에서 3 m 떨어진 곳에 집중 하중 P도 작용한다. 연직 지점 반력 R_A을(를) 구하시오.

L = 8 mw₀ = 12 kN/mP = 65 kN 위치 3 m

R_A = kN

4.보의 지점 반력어려움

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. 연직 지점 반력 R_A을(를) 구하시오.

L = 10 mP = 35 kN 위치 3 mw = 5 kN/m, 5부터 8 m까지

R_A = kN

5.트러스: 절점법보통

절점법으로 부재 AB의 부재력 F_AB을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 8 m높이 = 3 mB는 A에서 6 m연직 하중 = 50 kN

F_AB = kN

6.트러스: 절점법어려움

절점법으로 부재 BC의 부재력 F_BC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 5 m높이 = 3 mB는 A에서 1 m연직 하중 = 60 kN수평 하중 = 25 kN ←

F_BC = kN

7.프레임과 기계보통

수평 보 AB가 A에서 벽에 핀으로 연결되어 있고, A보다 0.75 m 아래의 C에서 벽에 핀으로 연결된 지주 CD가 받치고 있습니다. B에 2 kN의 하중이 매달려 있습니다. 자중은 무시합니다. A에서 보에 작용하는 핀 힘의 크기 A을(를) 구하시오.

P = 2 kNAD = 1.5 mAB = 3.6 mAC = 0.75 m

A = kN

8.프레임과 기계어려움

그림의 A형 프레임은 A의 핀과 B의 롤러 위에 서 있으며 둘 사이는 5 m입니다. 두 다리는 높이 4 m의 핀 C에서 만나고, 높이 1.8 m의 수평 막대 DE로 묶여 있습니다. C에 오른쪽으로 향하는 4 kN의 수평 힘이 작용합니다. 타이의 장력 T을(를) 구하시오.

P = 4 kNAB = 5 mC의 높이 = 4 mDE의 높이 = 1.8 m

T = kN

9.전단력과 휨 모멘트보통

단순보에 두 개의 집중 하중이 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 M_max을(를) 구하시오.

L = 4 mP₁ = 80 kN 위치 2 mP₂ = 15 kN 위치 2.5 m

M_max = kN·m

10.전단력과 휨 모멘트어려움

보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 2 m만큼 내밀어져 있다. 전체 길이 A–C에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 사이의 최대 정(正) 휨 모멘트 M_max을(를) 구하시오.

L = 10 mw = 3 kN/m, 0부터 10 m까지x = 0과 x = 8 m에 지점

M_max = kN·m

11.도심과 단면 2차 모멘트보통

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b_f = 200 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.도심과 단면 2차 모멘트어려움

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 25 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ_위의 크기를 구하시오.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 300 mmM = 25 kN·m

σ_위 = MPa

3용액

1.벡터: 내적과 외적

답: k = 2.75

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

내적이 0

a·b = 6·1 + (−5)·(−1) + (−4)·k = 0

11 + (−4)·k = 0

k 구하기

k = −11/(−4) = 2.75

답

k = 2.75

2.벡터: 내적과 외적

답: n̂_x = −0.8278

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

외적

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−3)·(−4) − 1·(−2) = 14

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 1·(−3) − 0·(−4) = −3

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 0·(−2) − (−3)·(−3) = −9

정규화

a × b의 z성분이 음수이므로 −(a × b)를 사용하세요.

|a × b| = √(14² + (−3)² + (−9)²) = 16.91

n̂ = −(14, −3, −9)/16.91 = (−0.8278, 0.1774, 0.5322)

n̂_x = −0.8278

답

n̂_x = −0.8278

3.보의 지점 반력

답: R_A = 72.63 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.

삼각형 하중의 합력

W = ½·12·8 = 48 kN

x̄ = L/3 = 2.667 m

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 48·2.667 + 65·3

R_B = 40.38 kN

R_A = 113 − 40.38 = 72.63 kN

답

R_A = 72.63 kN

4.보의 지점 반력

답: R_A = 29.75 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.

자유물체도

지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·3 = 15 kN, 작용점 x̄ = 6.5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·3 + 5·3·6.5

R_B = 202.5/10 = 20.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 20.25 = 29.75 kN

답

R_A = 29.75 kN

5.트러스: 절점법

답: F_AB = −27.95 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 50·6 → C_y = 37.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 37.5 = 12.5 kN

절점 A

모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.

sin α = 3/6.708 = 0.4472

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −12.5/0.4472 = −27.95 kN

답

F_AB = −27.95 kN (압축)

6.트러스: 절점법

답: F_BC = 5 kN

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·1 − 25·3 → C_y = −3 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − −3 = 63 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 3/5 = 0.6, cos γ = 4/5 = 0.8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−3/0.6 = 5 kN

답

F_BC = 5 kN (인장)

7.프레임과 기계

답: A = 10 kN

프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.

지주의 힘

F_CD = 2·3.6/(0.4472·1.5) = 10.73 kN

A에서의 성분

A_x = F_CD·cos α = 9.6 kN (벽 쪽으로)

A_y = 2 − F_CD·sin α = −2.8 kN

크기

A = √(9.6² + −2.8²) = 10 kN

답

A = 10 kN

A_y가 음수이면 벽이 A에서 보를 아래로 당긴다는 뜻입니다.

8.프레임과 기계

답: T = 3.636 kN

프레임 전체: A에 대한 모멘트

B_y·5 = 4·4

B_y = 3.2 kN

다리 BC: C에 대한 모멘트

3.2·2.5 = T·2.2

T = 3.636 kN

답

T = 3.636 kN

T가 양수이면 타이는 가정한 대로 인장을 받습니다.

9.전단력과 휨 모멘트

답: M_max = 91.25 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 80·2 + 15·2.5

R_B = 197.5/4 = 49.38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 49.38 = 45.63 kN

각 하중 아래의 모멘트

각 하중의 왼쪽 부분을 남깁니다.

아래 P₁: M = R_A·2 = 45.63·2 = 91.25 kN·m

아래 P₂: M = R_B·1.5 = 49.38·1.5 = 74.06 kN·m

최댓값

M_max = 91.25 kN·m (아래 P₁)

답

M_max = 91.25 kN·m

10.전단력과 휨 모멘트

답: M_max = 21.09 kN·m

지점 반력

내민 부분의 하중을 포함한 보 전체의 평형입니다.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, 작용점 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 3·10·5

R_B = 150/8 = 18.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 18.75 = 11.25 kN

전단력 0

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 11.25/3 = 3.75 m

최대 정모멘트

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 11.25²/(2·3) = 21.09 kN·m

답

M_max = 21.09 kN·m

11.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 4.905 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 200·30 = 6000 mm², y_f = 100 + 30/2 = 115 mm

웨브: A_w = 10·100 = 1000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·115 + 1000·50)/7000 = 105.7 mm

평행축 정리

플랜지: 200·30³/12 + 6000·(115 − 105.7)² = 967347 mm⁴

웨브: 10·100³/12 + 1000·(50 − 105.7)² = 3.937 × 10⁶ mm⁴

I_x = 967347 + 3.937 × 10⁶ = 4.905 × 10⁶ mm⁴ = 4.905 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 4.905 × 10⁶ mm⁴

12.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ_위 = 24.43 MPa

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307.5 mm

웨브: A_w = 14·300 = 4200 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·307.5 + 4200·150)/8700 = 231.5 mm

평행축 정리

플랜지: 300·15³/12 + 4500·(307.5 − 231.5)² = 2.61 × 10⁷ mm⁴

웨브: 14·300³/12 + 4200·(150 − 231.5)² = 5.937 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.61 × 10⁷ + 5.937 × 10⁷ = 8.547 × 10⁷ mm⁴

휨 응력

위 가장자리는 축에서 h − ȳ 떨어져 있습니다.

y = 315 − 231.5 = 83.53 mm

σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·83.53/8.547 × 10⁷ = 24.43 MPa

답

σ_위 = 24.43 MPa

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