그림의 벨 크랭크는 핀 O를 중심으로 회전합니다. A(O에서 200 mm)의 120 N 수직 힘이 B(O보다 80 mm 위)의 수평 힘과 평형을 이룹니다. 핀 반력의 크기 FO을(를) 구하시오.
F = 120 NOA = 200 mmOB = 80 mm
FO = N
8.프레임과 기계어려움
무게 1.5 kN의 균일한 수평 붐 AB가 A에서 벽에 핀으로 연결되어 있고, B에서 A보다 1 m 위의 벽의 점 C까지 케이블로 지지됩니다. B에 5 kN의 하중이 매달려 있습니다. 핀 반력의 크기 A을(를) 구하시오.
W = 5 kNWb = 1.5 kNAB = 2 mAC = 1 m
A = kN
9.전단력과 휨 모멘트보통
지점 A에서 x = 6 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 8 mw = 2 kN/m, 0부터 8 m까지x = 6 m
Mx = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 1 m만큼 내밀어져 있다. 전체 길이 A–C에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 B에서의 휨 모멘트 MB을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 9 mw = 4 kN/m, 0부터 9 m까지x = 0과 x = 8 m에 지점
MB = kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
bf = 240 mmtf = 10 mmtw = 20 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
용접 I형 단면의 상부 플랜지는 160 × 24 mm, 웨브는 높이 360 mm, 두께 10 mm, 하부 플랜지는 230 × 22 mm(폭 × 두께)이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
변위
d = B − A = (−3, −4, 1) − (2, −3, −5) = (−5, −1, 6) m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
성분별로 구하는 외적
(a × b)x = aybz − azby = (−3)·(−3) − 1·(−2) = 11
(a × b)y = azbx − axbz = 1·(−4) − 1·(−3) = −1
(a × b)z = axby − aybx = 1·(−2) − (−3)·(−4) = −14
요청된 성분
(a × b)z = −14
답
(a × b)z = −14
확인: a × b는 두 벡터에 모두 수직이므로, a 및 b와의 내적이 0입니다.
3.보의 지점 반력
답: RA = −19.29 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.
A에 대한 모멘트
반시계 방향을 양으로.
ΣMA = 0: RB·7 = 10·1 + 65·10
RB = 660/7 = 94.29 kN
연직 방향 평형
RA = 10 + 65 − 94.29 = −19.29 kN
답
RA = −19.29 kN
RA가 음수입니다. A의 힌지가 보를 아래로 붙잡아야 합니다.
4.보의 지점 반력
답: RA = 45.63 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.
자유물체도
지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 40·3 + 10·3·2.5
RB = 195/8 = 24.38 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 24.38 = 45.63 kN
답
RA = 45.63 kN
5.트러스: 절점법
답: FAC = 4.375 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·8 = 20·7 → Cy = 17.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 17.5 = 2.5 kN
절점 C
롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.
sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·8 = 60·3 − 30·3 → Cy = 11.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 11.25 = 48.75 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN
절점 A
모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.
sin α = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −48.75/0.7071 = −68.94 kN
답
FAB = −68.94 kN (압축)
7.프레임과 기계
답: FO = 323.1 N
기계: 펜치, 레버, 링크 기구, 클램프는 입력 힘을 더 큰 힘이나 다른 방향의 출력 힘으로 바꿉니다. 한 부품을 자유물체로 그리고 회전축에 대해 모멘트를 취하세요: 핀 힘은 사라지고, Fin·a = Fout·b에서 기계적 이득 a/b가 나옵니다. 핀 힘은 같은 부품에 ΣF = 0을 적용하면 구해집니다. 토글에서는 두 링크가 얕은 각 θ로 만납니다. 각 링크는 2력 부재이므로 이음부의 작은 힘 F가 큰 링크 힘 F/(2 sin θ)와 조임력 F/(2 tan θ)를 만듭니다.
B에서의 힘
Q = 120·200/80 = 300 N
핀 반력
Ox = 300 N, Oy = 120 N
FO = √(300² + 120²) = 323.1 N
답
FO = 323.1 N
8.프레임과 기계
답: A = 11.52 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
케이블 장력
T = (5 + 1.5/2)/0.4472 = 12.86 kN
A에서의 성분
Ax = T·cos β = 11.5 kN
Ay = 5 + 1.5 − T·sin β = 0.75 kN
크기
A = √(11.5² + 0.75²) = 11.52 kN
답
A = 11.52 kN
9.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 12 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 2·8·4
RB = 64/8 = 8 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 8 = 8 kN
x = 6 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 8·6 − 2·6·3 = 12 kN·m
답
Mx = 12 kN·m
10.전단력과 휨 모멘트
답: MB = −2 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
내민 부분의 하중을 포함한 보 전체의 평형입니다.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·9 = 36 kN, 작용점 x̄ = 4.5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 4·9·4.5
RB = 162/8 = 20.25 kN
ΣFy = 0: RA = 36 − 20.25 = 15.75 kN
B에서 자르고 내민 부분을 남긴다
내민 부분의 하중 w·a는 B에서 a/2인 곳에 작용하며, 지점 위에서 보를 위로 볼록하게 휩니다(부모멘트).
MB = −w·a²/2 = −4·1²/2 = −2 kN·m
답
MB = −2 kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 7.97 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 240·10 = 2400 mm², yf = 120 + 10/2 = 125 mm