그림의 프레임에는 A, B, C에 핀이 있습니다. A와 C는 8 m 떨어져 지면에 고정되어 있고, B는 지면 위 2.5 m, A의 오른쪽 3.6 m에 있습니다. 부재 AB 위의 K에 5 kN의 수직 하중이 작용하며 K는 A에서 (수평으로) 2.16 m 떨어져 있습니다. 부재 BC의 힘 FBC을(를) 구하시오.
P = 5 kNL = 8 mH = 2.5 mA에서 B까지의 수평 거리 = 3.6 mA에서 K까지의 수평 거리 = 2.16 m
FBC = kN
8.프레임과 기계어려움
무게 3 kN의 균일한 수평 붐 AB가 A에서 벽에 핀으로 연결되어 있고, 끝 B에서 A보다 3 m 위의 벽의 점 C까지 케이블로 지지됩니다. B에 15 kN의 하중이 매달려 있습니다. 케이블의 장력 T을(를) 구하시오.
W = 15 kNWb = 3 kNAB = 3 mAC = 3 m
T = kN
9.전단력과 휨 모멘트보통
단순보의 A에서 x = 4 m인 곳에 시계 방향 우력 M0 = 35 kN·m이(가) 작용하며, 다른 하중은 없다. 우력 바로 왼쪽의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 8 mM0 = 35 kN·m 시계 방향, 위치 4 m
Mx = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
30 kN @ 0 m60 kN @ 6 m15 kN @ 2 m6 kN/m, 1–4 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
150 mm × 200 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 50 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 140 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 150 mmh = 200 mmd = 50 mm구멍 중심: y = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 5 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ위의 크기를 구하시오.
내적:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ는 스칼라입니다. 두 벡터 사이의 각도를 cos θ = a·b/(|a|·|b|)로 구할 수 있고, 두 벡터가 수직이면 0입니다. a를 b 위에 투영한 스칼라 투영은 a·b/|b|이며, 일정한 힘 F가 변위 d만큼 움직이는 동안 한 일은 W = F·d입니다.
내적이 0
a·b = (−6)·4 + 2·k + (−5)·(−3) = 0
−9 + 2·k = 0
k 구하기
k = −(−9)/2 = 4.5
답
k = 4.5
2.벡터: 내적과 외적
답: Mz = −20 N·m
외적:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)는 두 벡터에 모두 수직이고, |a × b| = |a|·|b|·sin θ는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이입니다(삼각형은 그 절반). 순서가 중요합니다: b × a = −(a × b). 점 A에 작용하는 힘 F의 점 O에 대한 모멘트는 MO = r × F이며, r = A − O입니다.
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·6 = 55·2 + 15·4 → Cy = 28.33 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 28.33 = 26.67 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN
절점 A
모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.
sin α = 4/4.472 = 0.8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −26.67/0.8944 = −29.81 kN
답
FAB = −29.81 kN (압축)
7.프레임과 기계
답: FBC = 2.733 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
2력 부재 BC
BC = √(4.4² + 2.5²) = 5.061 m
프레임 전체: A에 대한 모멘트
지면은 C에서 CB를 따라 BC를 밉니다. 그 수평 성분은 A를 지나므로 수직 성분만 모멘트를 가집니다.
FBC·(2.5/5.061)·8 = 5·2.16
FBC = 2.733 kN (압축)
답
FBC = 2.733 kN
8.프레임과 기계
답: T = 23.33 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
케이블 각도
BC = √(3² + 3²) = 4.243 m, sin β = 0.7071
A에 대한 모멘트
T·0.7071·3 = 15·3 + 3·1.5
T = 23.33 kN
답
T = 23.33 kN
9.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = −17.5 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 작용하는 우력은 휨 모멘트도를 우력의 크기만큼 급변시킵니다.
지점 반력
A에 대한 모멘트, 반시계 방향을 양으로: RB·L − M0 = 0. 연직 평형: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 35/8 = 4.375 kN (위쪽)
RA = −RB = −4.375 kN (아래쪽)
우력 바로 왼쪽에서 자른다
왼쪽 부분에는 RA만 포함됩니다.
Mx = RA·a = −4.375·4 = −17.5 kN·m
답
Mx = −17.5 kN·m
10.전단력과 휨 모멘트
답: E (x = 4 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 19 kN, R2 = 104 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = −30, MC = −44, MD = −79, ME = −120 kN·m, MF = −60, MG = 0
답
표시점 E: ME = −120 kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 96.33 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (30000·100 − 1963·140)/(30000 − 1963) = 97.2 mm
ȳ에 대한 전체 판
150·200³/12 + 30000·2.801² = 100.2 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
π·50⁴/64 + 1963·42.8² = 3.904 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 96.33 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 96.33 × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트
답: σ위 = 8.338 MPa
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 240·10 = 2400 mm², yf = 280 + 10/2 = 285 mm