그림의 A형 프레임은 A의 핀과 B의 롤러 위에 서 있으며 둘 사이는 5 m이고, 꼭대기 핀 C의 높이는 4.5 m, 수평 타이 DE는 지면 위 1.2 m에 있습니다. 다리 AC 위의 K에 12 kN의 수직 하중이 작용하며 K는 A에서 (수평으로) 1 m 떨어져 있습니다. 타이의 장력 T을(를) 구하시오.
P = 12 kNAB = 5 mC의 높이 = 4.5 mDE의 높이 = 1.2 mA에서 K까지의 수평 거리 = 1 m
T = kN
8.프레임과 기계어려움
그림의 A형 프레임은 A의 핀과 B의 롤러 위에 서 있으며 둘 사이는 4 m이고, 꼭대기 핀 C의 높이는 4.5 m, 수평 타이 DE는 지면 위 1.2 m에 있습니다. 다리 AC 위의 K에 15 kN의 수직 하중이 작용하며 K는 A에서 (수평으로) 0.8 m 떨어져 있습니다. 핀 C가 다리 BC에 가하는 힘의 크기 C을(를) 구하시오.
P = 15 kNAB = 4 mC의 높이 = 4.5 mDE의 높이 = 1.2 mA에서 K까지의 수평 거리 = 0.8 m
C = kN
9.전단력과 휨 모멘트보통
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
20 kN @ 5 m10 kN/m, 0–4 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
10.전단력과 휨 모멘트어려움
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
35 kN @ 0 m40 kN @ 12 m35 kN @ 6 m15 kN/m, 2–10 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
100 mm × 240 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 50 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 84 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 100 mmh = 240 mmd = 50 mm구멍 중심: y = 84 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 30 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ위의 크기를 구하시오.
내적:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ는 스칼라입니다. 두 벡터 사이의 각도를 cos θ = a·b/(|a|·|b|)로 구할 수 있고, 두 벡터가 수직이면 0입니다. a를 b 위에 투영한 스칼라 투영은 a·b/|b|이며, 일정한 힘 F가 변위 d만큼 움직이는 동안 한 일은 W = F·d입니다.
내적
a·b = 4·6 + (−2)·0 + (−6)·(−3) = 42
크기들
|a| = √(4² + (−2)² + (−6)²) = 7.483
|b| = √(6² + 0² + (−3)²) = 6.708
위상각
cos θ = 42/(7.483·6.708) = 0.8367
θ = arccos(0.8367) = 33.21°
답
θ = 33.21°
2.벡터: 내적과 외적
답: |M| = 426.4 N·m
외적:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)는 두 벡터에 모두 수직이고, |a × b| = |a|·|b|·sin θ는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이입니다(삼각형은 그 절반). 순서가 중요합니다: b × a = −(a × b). 점 A에 작용하는 힘 F의 점 O에 대한 모멘트는 MO = r × F이며, r = A − O입니다.
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.
A에 대한 모멘트
반시계 방향을 양으로.
ΣMA = 0: RB·4.5 = 55·1.5 + 75·6
RB = 532.5/4.5 = 118.3 kN
연직 방향 평형
RA = 55 + 75 − 118.3 = 11.67 kN
답
RB = 118.3 kN
4.보의 지점 반력
답: MA = 207.7 kN·m
캔틸레버의 평형: 고정 지점은 위로 밀 수 있고 회전에도 저항하므로 연직 반력 RA와 반력 모멘트 MA를 줍니다. ΣFy = 0에서 RA가 나오고, 벽에 대한 모멘트에서 MA = Σ(하중 × 벽으로부터의 거리)가 나옵니다. 분포 하중은 하중도의 도심에 작용하는 합력으로 작용합니다.
삼각형 하중의 합력
W = ½·4·8 = 16 kN
x̄ = L/3 = 2.667 m
벽에 대한 모멘트
MA = W·x̄ + P·a = 16·2.667 + 55·3 = 207.7 kN·m
답
MA = 207.7 kN·m
5.트러스: 절점법
답: FAB = −46.67 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·5 = 55·2 → Cy = 22 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 22 = 33 kN
절점 A
모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.
sin α = 2/2.828 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −33/0.7071 = −46.67 kN
답
FAB = −46.67 kN (압축)
6.트러스: 절점법
답: FAB = −21.34 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·6 = 20·5 − 15·4 → Cy = 6.667 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 6.667 = 13.33 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN
절점 A
모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.
sin α = 4/6.403 = 0.6247
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −13.33/0.6247 = −21.34 kN
답
FAB = −21.34 kN (압축)
7.프레임과 기계
답: T = 1.818 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
프레임 전체: A에 대한 모멘트
By = 12·1/5 = 2.4 kN
다리 BC: C에 대한 모멘트
2.4·2.5 = T·3.3
T = 1.818 kN
답
T = 1.818 kN
8.프레임과 기계
답: C = 3.508 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
B의 지점 반력
By = 15·0.8/4 = 3 kN
타이 힘
T = 3·2/3.3 = 1.818 kN
BC에 작용하는 핀 힘
Cx = 1.818 kN, Cy = −3 kN
C = √(1.818² + 3²) = 3.508 kN
답
C = 3.508 kN
9.전단력과 휨 모멘트
답: D (x = 3 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 30 kN, R2 = 30 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = 25, MC = 40, MD = 45 kN·m, ME = 40, MF = 30, MG = 0
답
표시점 D: MD = 45 kN·m
10.전단력과 휨 모멘트
답: D (x = 6 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 111.3 kN, R2 = 118.8 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = −70, MC = 52.5, MD = 115 kN·m, ME = 47.5, MF = −80, MG = 0
답
표시점 D: MD = 115 kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 112.1 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (24000·120 − 1963·84)/(24000 − 1963) = 123.2 mm
ȳ에 대한 전체 판
100·240³/12 + 24000·−3.208² = 115.4 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
π·50⁴/64 + 1963·−39.21² = 3.325 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 112.1 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 112.1 × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트
답: σ위 = 21.42 MPa
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 220·30 = 6600 mm², yf = 300 + 30/2 = 315 mm