Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
성분별로 구하는 외적
(a × b)x = aybz − azby = 0·6 − (−3)·(−5) = −15
(a × b)y = azbx − axbz = (−3)·5 − 2·6 = −27
(a × b)z = axby − aybx = 2·(−5) − 0·5 = −10
요청된 성분
(a × b)z = −10
답
(a × b)z = −10
확인: a × b는 두 벡터에 모두 수직이므로, a 및 b와의 내적이 0입니다.
3.보의 지점 반력
답: RB = 15.83 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.
삼각형 하중의 합력
W = ½·8·5 = 20 kN
x̄ = 2L/3 = 3.333 m
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
ΣMA = 0: RB·5 = 20·3.333 + 25·0.5
RB = 15.83 kN
RA = 45 − 15.83 = 29.17 kN
답
RB = 15.83 kN
4.보의 지점 반력
답: RB = 26.4 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.
자유물체도
지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·5 = 50·2 + 4·2·4
RB = 132/5 = 26.4 kN
ΣFy = 0: RA = 58 − 26.4 = 31.6 kN
답
RB = 26.4 kN
5.트러스: 절점법
답: FAB = −14.28 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·8 = 45·7 → Cy = 39.38 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 39.38 = 5.625 kN
절점 A
모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.
sin α = 3/7.616 = 0.3939
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −5.625/0.3939 = −14.28 kN
답
FAB = −14.28 kN (압축)
6.트러스: 절점법
답: 부재 BF
영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.
절점 B
AB과 BC은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 BF만 남습니다.
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
지주의 힘
FCD = 15·3.6/(0.3162·1.5) = 113.8 kN
A에서의 성분
Ax = FCD·cos α = 108 kN (벽 쪽으로)
Ay = 15 − FCD·sin α = −21 kN
크기
A = √(108² + −21²) = 110 kN
답
A = 110 kN
Ay가 음수이면 벽이 A에서 보를 아래로 당긴다는 뜻입니다.
8.프레임과 기계
답: F = 967 N
기계: 펜치, 레버, 링크 기구, 클램프는 입력 힘을 더 큰 힘이나 다른 방향의 출력 힘으로 바꿉니다. 한 부품을 자유물체로 그리고 회전축에 대해 모멘트를 취하세요: 핀 힘은 사라지고, Fin·a = Fout·b에서 기계적 이득 a/b가 나옵니다. 핀 힘은 같은 부품에 ΣF = 0을 적용하면 구해집니다. 토글에서는 두 링크가 얕은 각 θ로 만납니다. 각 링크는 2력 부재이므로 이음부의 작은 힘 F가 큰 링크 힘 F/(2 sin θ)와 조임력 F/(2 tan θ)를 만듭니다.
링크 각
sin θ = 12/100 = 0.12, θ = 6.892°
링크 힘
Flink = Q/cos θ = 4029 N
B에서의 힘
F = 2·Flink·sin θ = 2·4000·tan θ = 967 N
답
F = 967 N
9.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 8 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 작용하는 우력은 휨 모멘트도를 우력의 크기만큼 급변시킵니다.
지점 반력
A에 대한 모멘트, 반시계 방향을 양으로: RB·L − M0 = 0. 연직 평형: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 40/10 = 4 kN (위쪽)
RA = −RB = −4 kN (아래쪽)
우력 바로 오른쪽에서 자른다
이제 왼쪽 부분에는 RA와 우력이 포함됩니다.
Mx = RA·a + M0 = −4·8 + 40 = 8 kN·m
답
Mx = 8 kN·m
10.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 19.75 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·2.5 + 4·6·3
RB = 97/6 = 16.17 kN
ΣFy = 0: RA = 34 − 16.17 = 17.83 kN
x = 4.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.