수평 보 AB가 A에서 벽에 핀으로 연결되어 있고, A보다 1.2 m 아래의 C에서 벽에 핀으로 연결된 지주 CD가 받치고 있습니다. B에 8 kN의 하중이 매달려 있습니다. 자중은 무시합니다. A에서 보에 작용하는 핀 힘의 크기 A을(를) 구하시오.
P = 8 kNAD = 2 mAB = 2.4 mAC = 1.2 m
A = kN
8.프레임과 기계어려움
토글 프레스에 핀 사이 길이가 각각 200 mm인 같은 링크 AB와 BC가 있습니다. 이음부 B는 선 AC 위 12 mm에 있습니다. 슬라이더 C에서 1000 N의 수평 압력을 내려면 B에 가하는 아래 방향 힘 F은(는) 얼마여야 합니까? 마찰과 자중은 무시합니다.
Q = 1000 NAB = BC = 200 mmh = 12 mm
F = N
9.전단력과 휨 모멘트보통
캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 2.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 x = 2 m인 단면에서 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 3 mP = 80 kN 위치 2.5 mw = 4 kN/m, 0부터 3 m까지x = 2 m
Mx = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
45 kN @ 6 m15 kN @ 2 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
120 mm × 240 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 60 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 168 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 120 mmh = 240 mmd = 60 mm구멍 중심: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
주철 보는 그림과 같은 T형 단면이며 플랜지가 위에 있다. 허용 응력은 인장 35 MPa, 압축 120 MPa이다. 보가 견딜 수 있는 최대 정(正) 휨 모멘트 Mallow을(를) 구하시오.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
내적이 0
a·b = (−1)·(−5) + 3·5 + (−1)·k = 0
20 + (−1)·k = 0
k 구하기
k = −20/(−1) = 20
답
k = 20
2.벡터: 내적과 외적
답: n̂y = −0.9717
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
캔틸레버의 평형: 고정 지점은 위로 밀 수 있고 회전에도 저항하므로 연직 반력 RA와 반력 모멘트 MA를 줍니다. ΣFy = 0에서 RA가 나오고, 벽에 대한 모멘트에서 MA = Σ(하중 × 벽으로부터의 거리)가 나옵니다. 분포 하중은 하중도의 도심에 작용하는 합력으로 작용합니다.
분포 하중의 합력
W = 10·4 = 40 kN, x̄ = 2 m
벽에 대한 모멘트
MA = P·a + W·x̄ = 70·2.5 + 40·2 = 255 kN·m
답
MA = 255 kN·m
4.보의 지점 반력
답: RA = 22.85 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.
P의 성분
Pv = 15·sin 45° = 10.61 kN
Ph = 15·cos 45° = 10.61 kN
반력
ΣMA = 0: RB·10 = 10.61·6 + 20·2 → RB = 10.36 kN
Ay = 10.61 + 20 − 10.36 = 20.24 kN
Ax = Ph = 10.61 kN
A의 합력
RA = √(10.61² + 20.24²) = 22.85 kN
답
RA = 22.85 kN
5.트러스: 절점법
답: FAC = 2.778 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·6 = 10·1 → Cy = 1.667 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 1.667 = 8.333 kN
절점 C
롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.
sin γ = 3/5.831 = 0.5145, cos γ = 5/5.831 = 0.8575
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
지주의 힘
FCD = 8·2.4/(0.5145·2) = 18.66 kN
A에서의 성분
Ax = FCD·cos α = 16 kN (벽 쪽으로)
Ay = 8 − FCD·sin α = −1.6 kN
크기
A = √(16² + −1.6²) = 16.08 kN
답
A = 16.08 kN
Ay가 음수이면 벽이 A에서 보를 아래로 당긴다는 뜻입니다.
8.프레임과 기계
답: F = 120.2 N
기계: 펜치, 레버, 링크 기구, 클램프는 입력 힘을 더 큰 힘이나 다른 방향의 출력 힘으로 바꿉니다. 한 부품을 자유물체로 그리고 회전축에 대해 모멘트를 취하세요: 핀 힘은 사라지고, Fin·a = Fout·b에서 기계적 이득 a/b가 나옵니다. 핀 힘은 같은 부품에 ΣF = 0을 적용하면 구해집니다. 토글에서는 두 링크가 얕은 각 θ로 만납니다. 각 링크는 2력 부재이므로 이음부의 작은 힘 F가 큰 링크 힘 F/(2 sin θ)와 조임력 F/(2 tan θ)를 만듭니다.
링크 각
sin θ = 12/200 = 0.06, θ = 3.44°
링크 힘
Flink = Q/cos θ = 1002 N
B에서의 힘
F = 2·Flink·sin θ = 2·1000·tan θ = 120.2 N
답
F = 120.2 N
9.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = −42 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
자유단 쪽 부분을 남긴다
P: −80·0.5 = −40 kN·m
w: −4·1²/2 = −2 kN·m
Mx = −40 − 2 = −42 kN·m
답
Mx = −42 kN·m
음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.
10.전단력과 휨 모멘트
답: F (x = 5 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 0 kN, R2 = 60 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = 0, MC = 0, MD = −15, ME = −30, MF = −45 kN·m, MG = 0
답
표시점 F: MF = −45 kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 130.4 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (28800·120 − 2827·168)/(28800 − 2827) = 114.8 mm
ȳ에 대한 전체 판
120·240³/12 + 28800·5.225² = 139 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
π·60⁴/64 + 2827·53.23² = 8.646 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 130.4 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 130.4 × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트
답: Mallow = 17.6 kN·m
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.