그림의 A형 프레임은 A의 핀과 B의 롤러 위에 서 있으며 둘 사이는 4 m입니다. 두 다리는 높이 3.6 m의 핀 C에서 만나고, 수평 타이 DE는 지면 위 0.8 m에 있습니다. C에 10 kN의 하중이 작용합니다. 핀 C가 다리 BC에 가하는 힘의 크기 C을(를) 구하시오.
P = 10 kNAB = 4 mC의 높이 = 3.6 mDE의 높이 = 0.8 m
C = kN
8.프레임과 기계어려움
무게 1 kN의 균일한 수평 붐 AB가 A에서 벽에 핀으로 연결되어 있고, B에서 A보다 1 m 위의 벽의 점 C까지 케이블로 지지됩니다. B에 15 kN의 하중이 매달려 있습니다. 핀 반력의 크기 A을(를) 구하시오.
W = 15 kNWb = 1 kNAB = 3 mAC = 1 m
A = kN
9.전단력과 휨 모멘트보통
지점 A에서 x = 6.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 8 mw = 4 kN/m, 0부터 8 m까지x = 6.5 m
Mx = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
지점 A에서 x = 2.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 4 mP = 45 kN 위치 2.5 mw = 5 kN/m, 0부터 4 m까지x = 2.5 m
Mx = kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
원형 관의 바깥지름은 D = 230 mm, 안지름은 d = 214 mm이다. 수평 도심축에 대한 회전 반지름 r을(를) 구하시오.
D = 230 mmd = 214 mm
r = mm
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
용접 I형 단면의 상부 플랜지는 110 × 10 mm, 웨브는 높이 270 mm, 두께 8 mm, 하부 플랜지는 250 × 20 mm(폭 × 두께)이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
내적이 0
a·b = 4·4 + 4·(−2) + 4·k = 0
8 + 4·k = 0
k 구하기
k = −8/4 = −2
답
k = −2
2.벡터: 내적과 외적
답: (a × b)z = 15
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
성분별로 구하는 외적
(a × b)x = aybz − azby = 6·(−2) − 5·5 = −37
(a × b)y = azbx − axbz = 5·0 − 3·(−2) = 6
(a × b)z = axby − aybx = 3·5 − 6·0 = 15
요청된 성분
(a × b)z = 15
답
(a × b)z = 15
확인: a × b는 두 벡터에 모두 수직이므로, a 및 b와의 내적이 0입니다.
3.보의 지점 반력
답: RA = 18.13 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.
자유물체도
지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
ΣMA = 0: RB·8 = 15·1 + 20·6
RB = 135/8 = 16.88 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 16.88 = 18.13 kN
답
RA = 18.13 kN
4.보의 지점 반력
답: RA = 11.75 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.
자유물체도
지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·3 = 12 kN, 작용점 x̄ = 3.5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·4 + 4·3·3.5
RB = 82/8 = 10.25 kN
ΣFy = 0: RA = 22 − 10.25 = 11.75 kN
답
RA = 11.75 kN
5.트러스: 절점법
답: FAB = −20.19 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·6 = 45·5 → Cy = 37.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 37.5 = 7.5 kN
절점 A
모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.
sin α = 2/5.385 = 0.3714
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −7.5/0.3714 = −20.19 kN
답
FAB = −20.19 kN (압축)
6.트러스: 절점법
답: FAB = −31.62 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·4 = 10·1 − 30·3 → Cy = −20 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − −20 = 30 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN
절점 A
모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.
sin α = 3/3.162 = 0.9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −30/0.9487 = −31.62 kN
답
FAB = −31.62 kN (압축)
7.프레임과 기계
답: C = 6.145 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
다리 BC로부터 구한 타이 힘
By = 5 kN
T = 5·2/2.8 = 3.571 kN
BC에 작용하는 핀 힘의 성분
Cx = T = 3.571 kN, Cy = −By = −5 kN
크기
C = √(3.571² + 5²) = 6.145 kN
답
C = 6.145 kN
8.프레임과 기계
답: A = 46.5 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
케이블 장력
T = (15 + 1/2)/0.3162 = 49.02 kN
A에서의 성분
Ax = T·cos β = 46.5 kN
Ay = 15 + 1 − T·sin β = 0.5 kN
크기
A = √(46.5² + 0.5²) = 46.5 kN
답
A = 46.5 kN
9.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 19.5 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 4·8·4
RB = 128/8 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 16 = 16 kN
x = 6.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 16·6.5 − 4·6.5·3.25 = 19.5 kN·m
답
Mx = 19.5 kN·m
10.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 51.56 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, 작용점 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 45·2.5 + 5·4·2
RB = 152.5/4 = 38.13 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 38.13 = 26.88 kN
x = 2.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 26.88·2.5 − 5·2.5·1.25 = 51.56 kN·m
답
Mx = 51.56 kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: r = 78.54 mm
단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = Ic + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다. 회전 반지름 r = √(I/A)은 전체 면적이 같은 I를 주게 되는 거리이며, 기둥 좌굴에 쓰입니다.
순단면적과 단면 2차 모멘트
A = π(D² − d²)/4 = 5579 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 3.442 × 10⁷ mm⁴
회전 반지름
r = √(I/A) = √(3.442 × 10⁷/5579) = 78.54 mm
답
r = 78.54 mm
12.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 100.5 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
세 개의 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
상부 플랜지: A = 1100 mm², y = 295 mm
웨브: A = 2160 mm², y = 155 mm
하부 플랜지: A = 5000 mm², y = 10 mm
도심
ȳ = (1100·295 + 2160·155 + 5000·10)/8260 = 85.87 mm