수평 보 AB가 A에서 벽에 핀으로 연결되어 있고, A보다 1 m 아래의 C에서 벽에 핀으로 연결된 지주 CD가 받치고 있습니다. B에 4 kN의 하중이 매달려 있습니다. 자중은 무시합니다. A에서 보에 작용하는 핀 힘의 크기 A을(를) 구하시오.
P = 4 kNAD = 1 mAB = 2.4 mAC = 1 m
A = kN
8.프레임과 기계어려움
그림의 A형 프레임은 A의 핀과 B의 롤러 위에 서 있으며 둘 사이는 2.4 m입니다. 두 다리는 높이 4.5 m의 핀 C에서 만나고, 높이 1 m의 수평 막대 DE로 묶여 있습니다. C에 오른쪽으로 향하는 8 kN의 수평 힘이 작용합니다. 타이의 장력 T을(를) 구하시오.
P = 8 kNAB = 2.4 mC의 높이 = 4.5 mDE의 높이 = 1 m
T = kN
9.전단력과 휨 모멘트보통
단순보의 A에서 x = 2 m인 곳에 시계 방향 우력 M0 = 60 kN·m이(가) 작용하며, 다른 하중은 없다. 우력 바로 왼쪽의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 8 mM0 = 60 kN·m 시계 방향, 위치 2 m
Mx = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
50 kN @ 12 m25 kN @ 4 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
100 mm × 240 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 50 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 156 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 100 mmh = 240 mmd = 50 mm구멍 중심: y = 156 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
주철 보는 그림과 같은 T형 단면이며 플랜지가 위에 있다. 허용 응력은 인장 50 MPa, 압축 90 MPa이다. 보가 견딜 수 있는 최대 부(負) 휨 모멘트 Mallow을(를) 구하시오(크기로 답하시오).
내적:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ는 스칼라입니다. 두 벡터 사이의 각도를 cos θ = a·b/(|a|·|b|)로 구할 수 있고, 두 벡터가 수직이면 0입니다. a를 b 위에 투영한 스칼라 투영은 a·b/|b|이며, 일정한 힘 F가 변위 d만큼 움직이는 동안 한 일은 W = F·d입니다.
내적
a·b = 0·1 + (−2)·6 + (−2)·(−1) = −10
b의 길이
|b| = √(1² + 6² + (−1)²) = 6.164
스칼라 투영
compb a = a·b/|b| = −10/6.164 = −1.622
답
compb a = −1.622
음수: a는 b와 반대 방향의 성분을 가집니다.
2.벡터: 내적과 외적
답: V = 176
외적:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)는 두 벡터에 모두 수직이고, |a × b| = |a|·|b|·sin θ는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이입니다(삼각형은 그 절반). 순서가 중요합니다: b × a = −(a × b). 점 A에 작용하는 힘 F의 점 O에 대한 모멘트는 MO = r × F이며, r = A − O입니다.
외적 b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 5·(−4) − 2·5 = −30
(b × c)y = bzcx − bxcz = 2·(−5) − (−1)·(−4) = −14
(b × c)z = bxcy − bycx = (−1)·5 − 5·(−5) = 20
a와의 내적
a·(b × c) = 5·(−30) + (−1)·(−14) + (−2)·20 = −176
V = |−176| = 176
답
V = 176
3.보의 지점 반력
답: RB = 33.75 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.
A에 대한 모멘트
반시계 방향을 양으로.
ΣMA = 0: RB·8 − 40·6 − 30 = 0
RB = 270/8 = 33.75 kN
연직 방향 평형
RA = 40 − 33.75 = 6.25 kN
답
RB = 33.75 kN
음의 반력은 아래로 작용합니다.
4.보의 지점 반력
답: RA = 54.6 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.
자유물체도
지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, 작용점 x̄ = 6 m
ΣMA = 0: RB·10 = 50·1 + 4·6·6
RB = 194/10 = 19.4 kN
ΣFy = 0: RA = 74 − 19.4 = 54.6 kN
답
RA = 54.6 kN
5.트러스: 절점법
답: 부재 CG
영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.
절점 C
BC과 CD은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 CG만 남습니다.
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
지주의 힘
FCD = 4·2.4/(0.7071·1) = 13.58 kN
A에서의 성분
Ax = FCD·cos α = 9.6 kN (벽 쪽으로)
Ay = 4 − FCD·sin α = −5.6 kN
크기
A = √(9.6² + −5.6²) = 11.11 kN
답
A = 11.11 kN
Ay가 음수이면 벽이 A에서 보를 아래로 당긴다는 뜻입니다.
8.프레임과 기계
답: T = 5.143 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
프레임 전체: A에 대한 모멘트
By·2.4 = 8·4.5
By = 15 kN
다리 BC: C에 대한 모멘트
15·1.2 = T·3.5
T = 5.143 kN
답
T = 5.143 kN
T가 양수이면 타이는 가정한 대로 인장을 받습니다.
9.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = −15 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 작용하는 우력은 휨 모멘트도를 우력의 크기만큼 급변시킵니다.
지점 반력
A에 대한 모멘트, 반시계 방향을 양으로: RB·L − M0 = 0. 연직 평형: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 60/8 = 7.5 kN (위쪽)
RA = −RB = −7.5 kN (아래쪽)
우력 바로 왼쪽에서 자른다
왼쪽 부분에는 RA만 포함됩니다.
Mx = RA·a = −7.5·2 = −15 kN·m
답
Mx = −15 kN·m
10.전단력과 휨 모멘트
답: F (x = 10 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 5 kN, R2 = 70 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = 10, MC = 20, MD = −20, ME = −60, MF = −100 kN·m, MG = 0
답
표시점 F: MF = −100 kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 112.1 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (24000·120 − 1963·156)/(24000 − 1963) = 116.8 mm
ȳ에 대한 전체 판
100·240³/12 + 24000·3.208² = 115.4 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
π·50⁴/64 + 1963·39.21² = 3.325 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 112.1 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 112.1 × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트
답: Mallow = 7.362 kN·m
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.