그림의 프레임에는 A, B, C에 핀이 있습니다. A와 C는 3 m 떨어져 지면에 고정되어 있고, B는 지면 위 3 m, A의 오른쪽 0.9 m에 있습니다. 부재 AB 위의 K에 20 kN의 수직 하중이 작용하며 K는 A에서 (수평으로) 0.225 m 떨어져 있습니다. 부재 BC의 힘 FBC을(를) 구하시오.
P = 20 kNL = 3 mH = 3 mA에서 B까지의 수평 거리 = 0.9 mA에서 K까지의 수평 거리 = 0.225 m
FBC = kN
8.프레임과 기계어려움
무게 3 kN의 균일한 수평 붐 AB가 A에서 벽에 핀으로 연결되어 있고, B에서 A보다 3 m 위의 벽의 점 C까지 케이블로 지지됩니다. B에 15 kN의 하중이 매달려 있습니다. 핀 반력의 크기 A을(를) 구하시오.
W = 15 kNWb = 3 kNAB = 3 mAC = 3 m
A = kN
9.전단력과 휨 모멘트보통
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
15 kN @ 5 m15 kN/m, 1–4 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
10.전단력과 휨 모멘트어려움
지점 A에서 x = 4.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 6 mP = 50 kN 위치 3.5 mw = 6 kN/m, 0부터 6 m까지x = 4.5 m
Mx = kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
150 mm × 240 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 40 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 156 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 150 mmh = 240 mmd = 40 mm구멍 중심: y = 156 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 10 kN·m을(를) 받는다. 아래 가장자리의 휨 응력 σ아래을(를) 구하시오.
내적:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ는 스칼라입니다. 두 벡터 사이의 각도를 cos θ = a·b/(|a|·|b|)로 구할 수 있고, 두 벡터가 수직이면 0입니다. a를 b 위에 투영한 스칼라 투영은 a·b/|b|이며, 일정한 힘 F가 변위 d만큼 움직이는 동안 한 일은 W = F·d입니다.
내적
a·b = (−2)·2 + (−2)·(−1) + 5·3 = 13
크기들
|a| = √((−2)² + (−2)² + 5²) = 5.745
|b| = √(2² + (−1)² + 3²) = 3.742
위상각
cos θ = 13/(5.745·3.742) = 0.6048
θ = arccos(0.6048) = 52.78°
답
θ = 52.78°
2.벡터: 내적과 외적
답: (a × b)x = −6
외적:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)는 두 벡터에 모두 수직이고, |a × b| = |a|·|b|·sin θ는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이입니다(삼각형은 그 절반). 순서가 중요합니다: b × a = −(a × b). 점 A에 작용하는 힘 F의 점 O에 대한 모멘트는 MO = r × F이며, r = A − O입니다.
성분별로 구하는 외적
(a × b)x = aybz − azby = 2·(−2) − 2·1 = −6
(a × b)y = azbx − axbz = 2·(−3) − 1·(−2) = −4
(a × b)z = axby − aybx = 1·1 − 2·(−3) = 7
요청된 성분
(a × b)x = −6
답
(a × b)x = −6
확인: a × b는 두 벡터에 모두 수직이므로, a 및 b와의 내적이 0입니다.
3.보의 지점 반력
답: RA = 7.917 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.
A에 대한 모멘트
반시계 방향을 양으로.
ΣMA = 0: RB·6 − 45·5.5 + 25 = 0
RB = 222.5/6 = 37.08 kN
연직 방향 평형
RA = 45 − 37.08 = 7.917 kN
답
RA = 7.917 kN
음의 반력은 아래로 작용합니다.
4.보의 지점 반력
답: MA = 363 kN·m
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요. 내부 힌지는 휨 모멘트를 전달할 수 없으므로 방정식이 하나 더 생깁니다. 어느 한쪽의 힘들의 힌지에 대한 모멘트는 0입니다.
CD 부분
힌지에는 모멘트가 없으므로 CD만의 C에 대한 모멘트가 평형을 이루어야 합니다.
W = 4·4 = 16 kN 위치 2 m 에서 C
ΣMC = 0: RD·4 = 70·1 + 16·2
RD = 25.5 kN
VC = 86 − 25.5 = 60.5 kN
AC 부분
힌지력 VC는 AC에 아래로 작용합니다(CD에 대한 작용과 크기가 같고 방향이 반대).
RA = 60.5 = 60.5 kN
MA = 60.5·6 = 363 kN·m
답
MA = 363 kN·m
5.트러스: 절점법
답: 부재 BF
영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.
절점 B
AB과 BC은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 BF만 남습니다.
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·6 = 60·5 + 25·3 → Cy = 62.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 62.5 = −2.5 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN
절점 A
모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.
sin α = 3/5.831 = 0.5145
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −−2.5/0.5145 = 4.859 kN
답
FAB = 4.859 kN (인장)
7.프레임과 기계
답: FBC = 1.831 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
2력 부재 BC
BC = √(2.1² + 3²) = 3.662 m
프레임 전체: A에 대한 모멘트
지면은 C에서 CB를 따라 BC를 밉니다. 그 수평 성분은 A를 지나므로 수직 성분만 모멘트를 가집니다.
FBC·(3/3.662)·3 = 20·0.225
FBC = 1.831 kN (압축)
답
FBC = 1.831 kN
8.프레임과 기계
답: A = 16.57 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
케이블 장력
T = (15 + 3/2)/0.7071 = 23.33 kN
A에서의 성분
Ax = T·cos β = 16.5 kN
Ay = 15 + 3 − T·sin β = 1.5 kN
크기
A = √(16.5² + 1.5²) = 16.57 kN
답
A = 16.57 kN
9.전단력과 휨 모멘트
답: D (x = 3 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 28.75 kN, R2 = 31.25 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = 28.75, MC = 50, MD = 56.25 kN·m, ME = 47.5, MF = 31.25, MG = 0
답
표시점 D: MD = 56.25 kN·m
10.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 64 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 50·3.5 + 6·6·3
RB = 283/6 = 47.17 kN
ΣFy = 0: RA = 86 − 47.17 = 38.83 kN
x = 4.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (36000·120 − 1257·156)/(36000 − 1257) = 118.7 mm
ȳ에 대한 전체 판
150·240³/12 + 36000·1.302² = 172.9 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
π·40⁴/64 + 1257·37.3² = 1.874 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 171 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 171 × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트
답: σ아래 = 120.9 MPa
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 160·15 = 2400 mm², yf = 180 + 15/2 = 187.5 mm