그림의 프레임에는 A, B, C에 핀이 있습니다. A와 C는 8 m 떨어져 지면에 고정되어 있고, B는 지면 위 3 m, A의 오른쪽 4.8 m에 있습니다. 부재 AB 위의 K에 15 kN의 수직 하중이 작용하며 K는 A에서 (수평으로) 1.2 m 떨어져 있습니다. 부재 BC의 힘 FBC을(를) 구하시오.
P = 15 kNL = 8 mH = 3 mA에서 B까지의 수평 거리 = 4.8 mA에서 K까지의 수평 거리 = 1.2 m
FBC = kN
8.프레임과 기계어려움
무게 2 kN의 균일한 수평 붐 AB가 A에서 벽에 핀으로 연결되어 있고, 끝 B에서 A보다 2.5 m 위의 벽의 점 C까지 케이블로 지지됩니다. B에 4 kN의 하중이 매달려 있습니다. 케이블의 장력 T을(를) 구하시오.
W = 4 kNWb = 2 kNAB = 2 mAC = 2.5 m
T = kN
9.전단력과 휨 모멘트보통
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
40 kN @ 2 m35 kN @ 8 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
10.전단력과 휨 모멘트어려움
지점 A에서 x = 9 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 10 mP = 45 kN 위치 9 mw = 6 kN/m, 0부터 10 m까지x = 9 m
Mx = kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
bf = 200 mmtf = 25 mmtw = 12 mmhw = 160 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
용접 I형 단면의 상부 플랜지는 120 × 18 mm, 웨브는 높이 270 mm, 두께 16 mm, 하부 플랜지는 220 × 12 mm(폭 × 두께)이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
내적
a·b = 3·2 + 1·(−3) + 1·(−6) = −3
크기들
|a| = √(3² + 1² + 1²) = 3.317
|b| = √(2² + (−3)² + (−6)²) = 7
위상각
cos θ = −3/(3.317·7) = −0.1292
θ = arccos(−0.1292) = 97.42°
답
θ = 97.42°
2.벡터: 내적과 외적
답: V = 48
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
외적 b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 2·(−3) − 3·2 = −12
(b × c)y = bzcx − bxcz = 3·5 − 4·(−3) = 27
(b × c)z = bxcy − bycx = 4·2 − 2·5 = −2
a와의 내적
a·(b × c) = 0·(−12) + (−2)·27 + (−3)·(−2) = −48
V = |−48| = 48
답
V = 48
3.보의 지점 반력
답: RA = 53.75 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.
자유물체도
지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
ΣMA = 0: RB·8 = 30·1 + 55·4
RB = 250/8 = 31.25 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 31.25 = 53.75 kN
답
RA = 53.75 kN
4.보의 지점 반력
답: RA = 8.667 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.
자유물체도
지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 6·1 = 6 kN, 작용점 x̄ = 1.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·3.5 + 6·1·1.5
RB = 44/6 = 7.333 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 7.333 = 8.667 kN
답
RA = 8.667 kN
5.트러스: 절점법
답: 부재 CG
영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.
절점 G
FG과 GH은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 CG만 남습니다.
영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.
절점 G
FG과 GH은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 CG만 남습니다.
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
2력 부재 BC
BC = √(3.2² + 3²) = 4.386 m
프레임 전체: A에 대한 모멘트
지면은 C에서 CB를 따라 BC를 밉니다. 그 수평 성분은 A를 지나므로 수직 성분만 모멘트를 가집니다.
FBC·(3/4.386)·8 = 15·1.2
FBC = 3.29 kN (압축)
답
FBC = 3.29 kN
8.프레임과 기계
답: T = 6.403 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
케이블 각도
BC = √(2² + 2.5²) = 3.202 m, sin β = 0.7809
A에 대한 모멘트
T·0.7809·2 = 4·2 + 2·1
T = 6.403 kN
답
T = 6.403 kN
9.전단력과 휨 모멘트
답: E (x = 8 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 45 kN, R2 = 30 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = 90, MC = 100, MD = 110, ME = 120 kN·m, MF = 60, MG = 0
답
표시점 E: ME = 120 kN·m
10.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 67.5 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, 작용점 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 45·9 + 6·10·5
RB = 705/10 = 70.5 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 70.5 = 34.5 kN
x = 9 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 34.5·9 − 6·9·4.5 = 67.5 kN·m
답
Mx = 67.5 kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 16.23 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 200·25 = 5000 mm², yf = 160 + 25/2 = 172.5 mm