내적:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ는 스칼라입니다. 두 벡터 사이의 각도를 cos θ = a·b/(|a|·|b|)로 구할 수 있고, 두 벡터가 수직이면 0입니다. a를 b 위에 투영한 스칼라 투영은 a·b/|b|이며, 일정한 힘 F가 변위 d만큼 움직이는 동안 한 일은 W = F·d입니다.
변위
d = B − A = (−3, 4, 3) − (3, 2, 2) = (−6, 2, 1) m
일
W = F·d = 25·(−6) + (−10)·2 + 0·1 = −170 J
답
W = −170 J
음의 일: 힘이 대부분 운동에 반대로 작용합니다.
2.벡터: 내적과 외적
답: n̂x = 0.889
외적:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)는 두 벡터에 모두 수직이고, |a × b| = |a|·|b|·sin θ는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이입니다(삼각형은 그 절반). 순서가 중요합니다: b × a = −(a × b). 점 A에 작용하는 힘 F의 점 O에 대한 모멘트는 MO = r × F이며, r = A − O입니다.
외적
(a × b)x = aybz − azby = 2·2 − (−3)·1 = 7
(a × b)y = azbx − axbz = (−3)·(−1) − 0·2 = 3
(a × b)z = axby − aybx = 0·1 − 2·(−1) = 2
정규화
a × b의 z성분은 이미 양수입니다.
|a × b| = √(7² + 3² + 2²) = 7.874
n̂ = (7, 3, 2)/7.874 = (0.889, 0.381, 0.254)
n̂x = 0.889
답
n̂x = 0.889
3.보의 지점 반력
답: RA = 32.29 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.
삼각형 하중의 합력
W = ½·10·8 = 40 kN
x̄ = L/3 = 2.667 m
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
ΣMA = 0: RB·8 = 40·2.667 + 45·7
RB = 52.71 kN
RA = 85 − 52.71 = 32.29 kN
답
RA = 32.29 kN
4.보의 지점 반력
답: RB = 26.4 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.
자유물체도
지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, 작용점 x̄ = 1 m
ΣMA = 0: RB·5 = 30·4 + 6·2·1
RB = 132/5 = 26.4 kN
ΣFy = 0: RA = 42 − 26.4 = 15.6 kN
답
RB = 26.4 kN
5.트러스: 절점법
답: 부재 CG
영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.
절점 G
FG과 GH은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 CG만 남습니다.
영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.
절점 B
AB과 BC은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 BF만 남습니다.
기계: 펜치, 레버, 링크 기구, 클램프는 입력 힘을 더 큰 힘이나 다른 방향의 출력 힘으로 바꿉니다. 한 부품을 자유물체로 그리고 회전축에 대해 모멘트를 취하세요: 핀 힘은 사라지고, Fin·a = Fout·b에서 기계적 이득 a/b가 나옵니다. 핀 힘은 같은 부품에 ΣF = 0을 적용하면 구해집니다. 토글에서는 두 링크가 얕은 각 θ로 만납니다. 각 링크는 2력 부재이므로 이음부의 작은 힘 F가 큰 링크 힘 F/(2 sin θ)와 조임력 F/(2 tan θ)를 만듭니다.
B에서의 힘
Q = 150·200/75 = 400 N
핀 반력
Ox = 400 N, Oy = 150 N
FO = √(400² + 150²) = 427.2 N
답
FO = 427.2 N
8.프레임과 기계
답: F = 333.5 N
기계: 펜치, 레버, 링크 기구, 클램프는 입력 힘을 더 큰 힘이나 다른 방향의 출력 힘으로 바꿉니다. 한 부품을 자유물체로 그리고 회전축에 대해 모멘트를 취하세요: 핀 힘은 사라지고, Fin·a = Fout·b에서 기계적 이득 a/b가 나옵니다. 핀 힘은 같은 부품에 ΣF = 0을 적용하면 구해집니다. 토글에서는 두 링크가 얕은 각 θ로 만납니다. 각 링크는 2력 부재이므로 이음부의 작은 힘 F가 큰 링크 힘 F/(2 sin θ)와 조임력 F/(2 tan θ)를 만듭니다.
링크 각
sin θ = 5/150 = 0.03333, θ = 1.91°
링크 힘
Flink = Q/cos θ = 5003 N
B에서의 힘
F = 2·Flink·sin θ = 2·5000·tan θ = 333.5 N
답
F = 333.5 N
9.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 10.5 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 3·8·4
RB = 96/8 = 12 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 12 = 12 kN
x = 1 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 12·1 − 3·1·0.5 = 10.5 kN·m
답
Mx = 10.5 kN·m
10.전단력과 휨 모멘트
답: E (x = 8 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 42.5 kN, R2 = 112.5 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = 55, MC = 50, MD = −15, ME = −140 kN·m, MF = −70, MG = 0
답
표시점 E: ME = −140 kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: r = 83.47 mm
단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = Ic + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다. 회전 반지름 r = √(I/A)은 전체 면적이 같은 I를 주게 되는 거리이며, 기둥 좌굴에 쓰입니다.
순단면적과 단면 2차 모멘트
b = 164 mm, h = 189 mm
A = BH − bh = 200·225 − 164·189 = 14004 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 9.758 × 10⁷ mm⁴
회전 반지름
r = √(I/A) = √(9.758 × 10⁷/14004) = 83.47 mm
답
r = 83.47 mm
12.도심과 단면 2차 모멘트
답: σ위 = 62.19 MPa
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 280·10 = 2800 mm², yf = 280 + 10/2 = 285 mm