그림의 토글 클램프에서 같은 길이의 두 링크 AB와 BC가 B에서 핀으로 연결되어 있고, 각각 선 AC와 8°를 이룹니다. B에 500 N의 아래 방향 힘이 가해집니다. 슬라이더 C가 공작물을 누릅니다. 마찰과 자중을 무시하고 수평 조임력 Q을(를) 구하시오.
F = 500 Nθ = 8°
Q = N
8.프레임과 기계어려움
토글 프레스에 핀 사이 길이가 각각 120 mm인 같은 링크 AB와 BC가 있습니다. 이음부 B는 선 AC 위 20 mm에 있습니다. 슬라이더 C에서 3000 N의 수평 압력을 내려면 B에 가하는 아래 방향 힘 F은(는) 얼마여야 합니까? 마찰과 자중은 무시합니다.
Q = 3000 NAB = BC = 120 mmh = 20 mm
F = N
9.전단력과 휨 모멘트보통
캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 2 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 x = 1 m인 단면에서 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 2 mP = 80 kN 위치 2 mw = 3 kN/m, 0부터 2 m까지x = 1 m
Mx = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
지점 A에서 x = 2 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 4 mP = 40 kN 위치 2 mw = 10 kN/m, 0부터 4 m까지x = 2 m
Mx = kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
속이 빈 직사각형(상자형) 단면의 바깥 폭은 B = 200 mm, 바깥 높이는 H = 225 mm, 균일한 벽 두께는 t = 6 mm이다. 수평 도심축에 대한 회전 반지름 r을(를) 구하시오.
B = 200 mmH = 225 mmt = 6 mm
r = mm
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
150 mm × 150 mm 판에 폭 50 mm, 높이 20 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 45 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 150 mmh = 150 mm절취부: 50 × 20 mm구멍 중심: y = 45 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3용액
1.벡터: 내적과 외적
답: θ = 51.8 °
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
내적
a·b = (−4)·(−5) + 4·0 + 6·1 = 26
크기들
|a| = √((−4)² + 4² + 6²) = 8.246
|b| = √((−5)² + 0² + 1²) = 5.099
위상각
cos θ = 26/(8.246·5.099) = 0.6183
θ = arccos(0.6183) = 51.8°
답
θ = 51.8°
2.벡터: 내적과 외적
답: V = 101
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
외적 b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 4·(−1) − 4·4 = −20
(b × c)y = bzcx − bxcz = 4·(−2) − 5·(−1) = −3
(b × c)z = bxcy − bycx = 5·4 − 4·(−2) = 28
a와의 내적
a·(b × c) = 3·(−20) + (−5)·(−3) + (−2)·28 = −101
V = |−101| = 101
답
V = 101
3.보의 지점 반력
답: RA = 34.17 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.
자유물체도
지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
ΣMA = 0: RB·6 = 35·1 + 15·4
RB = 95/6 = 15.83 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 15.83 = 34.17 kN
답
RA = 34.17 kN
4.보의 지점 반력
답: RB = 22.88 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.
자유물체도
지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, 작용점 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 45·1.5 + 6·2·2
RB = 91.5/4 = 22.88 kN
ΣFy = 0: RA = 57 − 22.88 = 34.13 kN
답
RB = 22.88 kN
5.트러스: 절점법
답: FAC = 15.31 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·8 = 35·1 → Cy = 4.375 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 4.375 = 30.63 kN
절점 C
롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.
기계: 펜치, 레버, 링크 기구, 클램프는 입력 힘을 더 큰 힘이나 다른 방향의 출력 힘으로 바꿉니다. 한 부품을 자유물체로 그리고 회전축에 대해 모멘트를 취하세요: 핀 힘은 사라지고, Fin·a = Fout·b에서 기계적 이득 a/b가 나옵니다. 핀 힘은 같은 부품에 ΣF = 0을 적용하면 구해집니다. 토글에서는 두 링크가 얕은 각 θ로 만납니다. 각 링크는 2력 부재이므로 이음부의 작은 힘 F가 큰 링크 힘 F/(2 sin θ)와 조임력 F/(2 tan θ)를 만듭니다.
핀 B의 평형
2·Flink·sin 8° = 500
Flink = 1796 N
조임력
Q = Flink·cos 8° = 500/(2·tan 8°) = 1779 N
답
Q = 1779 N
링크가 펴질수록 힘의 비 Q/F = 3.558는 한없이 커집니다.
8.프레임과 기계
답: F = 1014 N
기계: 펜치, 레버, 링크 기구, 클램프는 입력 힘을 더 큰 힘이나 다른 방향의 출력 힘으로 바꿉니다. 한 부품을 자유물체로 그리고 회전축에 대해 모멘트를 취하세요: 핀 힘은 사라지고, Fin·a = Fout·b에서 기계적 이득 a/b가 나옵니다. 핀 힘은 같은 부품에 ΣF = 0을 적용하면 구해집니다. 토글에서는 두 링크가 얕은 각 θ로 만납니다. 각 링크는 2력 부재이므로 이음부의 작은 힘 F가 큰 링크 힘 F/(2 sin θ)와 조임력 F/(2 tan θ)를 만듭니다.
링크 각
sin θ = 20/120 = 0.1667, θ = 9.594°
링크 힘
Flink = Q/cos θ = 3043 N
B에서의 힘
F = 2·Flink·sin θ = 2·3000·tan θ = 1014 N
답
F = 1014 N
9.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = −81.5 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
자유단 쪽 부분을 남긴다
P: −80·1 = −80 kN·m
w: −3·1²/2 = −1.5 kN·m
Mx = −80 − 1.5 = −81.5 kN·m
답
Mx = −81.5 kN·m
음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.
10.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 60 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, 작용점 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 40·2 + 10·4·2
RB = 160/4 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 40 = 40 kN
x = 2 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 40·2 − 10·2·1 = 60 kN·m
답
Mx = 60 kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: r = 88.08 mm
단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = Ic + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다. 회전 반지름 r = √(I/A)은 전체 면적이 같은 I를 주게 되는 거리이며, 기둥 좌굴에 쓰입니다.
순단면적과 단면 2차 모멘트
b = 188 mm, h = 213 mm
A = BH − bh = 200·225 − 188·213 = 4956 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 3.845 × 10⁷ mm⁴
회전 반지름
r = √(I/A) = √(3.845 × 10⁷/4956) = 88.08 mm
답
r = 88.08 mm
12.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 41.21 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.