기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 26, 40, 44, 38, 31.

n = 5

s =

2.기술통계어려움

어떤 양은 평균 60, 표준편차 8인 정규분포를 따릅니다. 56보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 60σ = 8x = 56

P =

3.확률보통

표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35

σ =

4.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 8개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.5로 맞힙니다. 정확히 4개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 8p = 0.5k = 4

P =

5.정규분포보통

X는 평균 60 s, 표준편차 5 s인 정규분포를 따르고, Y는 독립이며 평균 45 s, 표준편차 4 s인 정규분포를 따릅니다. X + Y가 98.6 s보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 98.6 s

P =

6.정규분포어려움

배송 시간은(는) 평균 32 min, 표준편차 6 min인 정규분포를 따릅니다. 전체의 97.5%가 그 아래에 있는 값 x(97.5 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 32σ = 6P = 97.5%

x = min

7.신뢰구간보통

항목 12개의 표본 평균은 63, 표준편차는 s = 17.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 12x̄ = 63s = 17.599%t(11) = 3.106

하한 =

8.신뢰구간어려움

기계 가공한 축 11개의 지름의 표본 표준 편차는 2.5 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 하한 σ을(를) 구하시오. df = 10에서 χ² 분포의 2.5%는 3.247 아래에, 2.5%는 20.483 위에 있다.

n = 11s = 2.5 µmχ² = 3.247, 20.483

σ = µm

9.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 49명 표본의 평균 점수는 502.1, 표본 표준편차는 12입니다. H₀: μ = 500에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 500x̄ = 502.1s = 12n = 49

t =

10.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 81개의 표본 평균은 100.4입니다. 모표준편차는 8입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 하한 L를 구하세요.

x̄ = 100.4σ = 8n = 8195%

L =

11.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5Σx = 25Σy = 358Σx² = 135Σy² = 25796Σxy = 1828

r =

12.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 22을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 5ŷ = 22

x =

3용액

1.기술통계

답: s = 7.225

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 179/5 = 35.8

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−9.8)² + 4.2² + 8.2² + 2.2² + (−4.8)² = 208.8

표준편차

s = √(208.8/4) = 7.225

답

s = 7.225

2.기술통계

답: P = 0.3085

표준화하기

z = −0.5

표준정규분포표

Φ(−0.5) = 0.3085

P = 0.3085

답

P = 0.3085

3.확률

답: σ = 0.8047

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.3 + 1·0.35 + 2·0.35 = 1.05

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.35 + 4·0.35 = 1.75

분산

Var(X) = 1.75 − 1.05² = 0.6475

σ = √0.6475 = 0.8047

답

σ = 0.8047

4.확률

답: P = 0.2734

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

이항분포 공식

P(X = 4) = 70·0.5⁴·0.5⁴ = 70·0.0625·0.0625 = 0.2734

답

P = 0.2734

5.정규분포

답: P = 0.8413

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합의 분포

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

표준화하기

z = (98.6 − 105)/6.403 = −1

위쪽 꼬리

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0.1587 = 0.8413

답

P = 0.8413

6.정규분포

답: x = 43.76 min

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

다시 x로

x = 32 + 1.96·6 = 43.76 min

답

x = 43.76 min

7.신뢰구간

답: 하한 = 47.31

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 11, t = 3.106

오차 한계

E = 3.106·17.5/√12 = 15.69

구간

63 ± 15.69 → [47.31, 78.69]

답

하한 = 47.31

8.신뢰구간

답: σ = 1.747 µm

분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.

제곱합

(n − 1)s² = 10·2.5² = 62.5

σ²의 한계

62.5/20.483 = 3.051

62.5/3.247 = 19.25

σ의 한계

σ = √3.051 = 1.747 µm

답

σ = 1.747 µm

σ의 95% 구간: [1.747, 4.387] µm.

9.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 1.225

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 12/√49 = 12/7 = 1.714

검정통계량

t = (502.1 − 500)/1.714 = 1.225

답

t = 1.225

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| < 2.011이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: L = 98.66

오차 한계

E = 1.96·8/√81 = 1.742

구간 끝값

L = 100.4 − 1.742 = 98.66

답

L = 98.66

11.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9406

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 1828 − 25·358/5 = 38

S_xx = 135 − 25²/5 = 10

S_yy = 25796 − 358²/5 = 163.2

상관계수

r = 38/√(10·163.2) = 0.9406

답

r = 0.9406

12.선형 회귀와 상관

답: x = 8.846

평균

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 73/5 = 14.6

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104

회귀직선

b = 104/40 = 2.6

a = 14.6 − 2.6·6 = −1

ŷ = −1 + 2.6·x

x 구하기

x = (22 − (−1))/2.6 = 8.846

답

x = 8.846

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