기술통계
- 평균
- x̄ = Σx/n
- 표본 표준편차
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 중앙값
- 정렬한 데이터의 가운데 값
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- 정규분포
- ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%
기초통계학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
확률
- 여사건
- P(not A) = 1 − P(A)
- 덧셈 정리
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 독립 사건
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 조건부 확률
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 이항분포
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
정규분포
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- x 미만
- P(X < x) = Φ(z)
- x 초과
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 두 값 사이
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 백분위수
- x = μ + z·σ
방법
- 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
- z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
- 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
- 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.
신뢰구간
- σ를 알 때
- x̄ ± z·σ/√n
- σ를 모를 때
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 임계 z값
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 표본 크기
- n = (z·σ/E)², rounded up
방법
- z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
- 신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
- 오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
- 구간: x̄ ± E.
가설 검정과 신뢰구간
- 평균에 대한 z 검정
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 평균에 대한 t 검정
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 유의수준 5% 양측 검정
- |z| > 1.96이면 H0 기각
- 신뢰구간
- x̄ ± z·σ/√n
방법
- H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
- 검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
- 임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
- 통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.
선형 회귀와 상관
- 제곱합
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 기울기
- b = Sxy/Sxx
- 절편
- a = ȳ − b·x̄
- 상관계수
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 잔차
- e = y − ŷ
2연습 문제
1.기술통계보통
자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 35, 27, 20, 39, 20, 32.
n = 6
s =
2.기술통계어려움
어떤 양은 평균 50, 표준편차 15인 정규분포를 따릅니다. 56보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?
μ = 50σ = 15x = 56
P =
3.확률보통
주머니에 빨간 공 3개와 파란 공 4개가 있습니다. 첫 공을 다시 넣지 않고 두 개를 꺼냅니다. 두 공이 모두 빨간 공일 확률 P는 얼마일까요?
3 / 4
P =
4.확률어려움
어떤 시험에 객관식 문제가 11개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.7로 맞힙니다. 정확히 1개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?
n = 11p = 0.7k = 1
P =
5.정규분포보통
배송 시간은(는) 평균 32 min, 표준편차 6 min인 정규분포를 따릅니다. 32에서 33.2 min 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.
μ = 32σ = 6x1 = 32x2 = 33.2
P =
6.정규분포어려움
시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 전체의 20%가 그 아래에 있는 값 x(20 백분위수)을(를) 구하세요.
μ = 65σ = 10P = 20%
x = 점
7.신뢰구간보통
항목 12개의 표본 평균은 71.5, 표준편차는 s = 12입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 하한을 구하세요.
n = 12x̄ = 71.5s = 1295%t(11) = 2.201
하한 =
8.신뢰구간어려움
기계 가공한 축 21개의 지름의 표본 표준 편차는 1.5 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 하한 σ을(를) 구하시오. df = 20에서 χ² 분포의 2.5%는 9.591 아래에, 2.5%는 34.17 위에 있다.
n = 21s = 1.5 µmχ² = 9.591, 34.17
σ = µm
9.가설 검정과 신뢰구간보통
모집단의 평균은 250이라고 주장되며, 모집단의 표준 편차는 18로 알려져 있다. 관측값 36개의 확률 표본의 평균은 255.58이다. H₀: μ = 250 대 H₁: μ > 250을(를) 검정하시오. p값 p을(를) 구하시오.
μ₀ = 250σ = 18n = 36x̄ = 255.58H₁: μ > μ₀
p =
10.가설 검정과 신뢰구간어려움
H₀: μ = 50 대 H₁: μ > 50의 단측 z 검정을 표본 크기 100, α = 0.01에서 실시한다. 표준 편차는 10로 알려져 있다. 실제 평균은 53.8이다. 제2종 오류의 확률 β을(를) 퍼센트로 구하시오.
μ₀ = 50μ = 53.8σ = 10n = 100α = 0.01
β = %
11.선형 회귀와 상관보통
표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.
n = 6Σx = 153Σy = 712Σx² = 4059Σy² = 89398Σxy = 19029
r =
12.선형 회귀와 상관어려움
표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (1.5, 34)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.
n = 6(1.5, 34)
e =
3용액
1.기술통계
답: s = 7.885
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
평균
x̄ = 173/6 = 28.83
편차의 제곱
Σ(x − x̄)² = 6.167² + (−1.833)² + (−8.833)² + 10.17² + (−8.833)² + 3.167² = 310.8
표준편차
s = √(310.8/5) = 7.885
답
s = 7.885
2.기술통계
답: P = 0.6554
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
표준화하기
z = 0.4
표준정규분포표
Φ(0.4) = 0.6554
P = 0.6554
답
P = 0.6554
3.확률
답: P = 0.1429
확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
첫 번째와 두 번째 꺼내기
P = 3/7 · 2/6 = 6/42 = 0.1429
답
P = 0.1429
4.확률
답: P = 4.547 × 10⁻⁵
확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
이항분포 공식
P(X = 1) = 11·0.71·0.310 = 11·0.7·5.905 × 10⁻⁶ = 4.547 × 10⁻⁵
답
P = 4.547 × 10⁻⁵
5.정규분포
답: P = 0.07926
정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.
z점수
z₁ = (32 − 32)/6 = 0
z₂ = (33.2 − 32)/6 = 0.2
사이의 넓이
P = Φ(0.2) − Φ(0) = 0.5793 − 0.5 = 0.07926
답
P = 0.07926
6.정규분포
답: x = 56.58 점
정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.
백분위수에 해당하는 z
Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416
다시 x로
x = 65 + −0.8416·10 = 56.58 점
답
x = 56.58 점
7.신뢰구간
답: 하한 = 63.88
평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.
임계값
df = n − 1 = 11, t = 2.201
오차 한계
E = 2.201·12/√12 = 7.624
구간
71.5 ± 7.624 → [63.88, 79.12]
답
하한 = 63.88
8.신뢰구간
답: σ = 1.148 µm
분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.
제곱합
(n − 1)s² = 20·1.5² = 45
σ²의 한계
45/34.17 = 1.317
45/9.591 = 4.692
σ의 한계
σ = √1.317 = 1.148 µm
답
σ = 1.148 µm
σ의 95% 구간: [1.148, 2.166] µm.
9.가설 검정과 신뢰구간
답: p = 0.03144
가설 검정: 검정 통계량 = (추정값 − H₀에서의 값)/(H₀에서의 표준 오차). p값은 H₀가 참이라고 가정할 때 관측된 것만큼 또는 그보다 극단적인 통계량이 나올 확률입니다. 단측 H₁이면 한쪽 꼬리의 면적, 양측 H₁이면 꼬리 면적의 두 배입니다. p ≤ α이면 H₀를 기각합니다.
검정통계량
SE = σ/√n = 18/√36 = 3
z = (255.58 − 250)/3 = 1.86
꼬리 면적
Φ(1.86) = 0.9686
1 − Φ(1.86) = 0.0314
p값
p = 0.03144
답
p = 0.03144
p ≤ 0.05이므로 5% 수준에서 H₀를 기각합니다.
10.가설 검정과 신뢰구간
답: β = 7.024 %
검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
임계 표본 평균
SE = 10/√100 = 1
x̄c = 50 + 2.326·1 = 52.33
참 평균에서의 z
z = (52.33 − 53.8)/1 = −1.474
제2종 오류
검정력 = P(Z > −1.474) = 92.98%
β = 100% − 92.98% = 7.024%
답
β = 7.024%
11.선형 회귀와 상관
답: r = 0.993
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
중심화한 합
Sxy = 19029 − 153·712/6 = 873
Sxx = 4059 − 153²/6 = 157.5
Syy = 89398 − 712²/6 = 4907
상관계수
r = 873/√(157.5·4907) = 0.993
답
r = 0.993
12.선형 회귀와 상관
답: e = 5.186
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 141/6 = 23.5
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −46.5
회귀직선
b = −46.5/17.5 = −2.657
a = 23.5 − (−2.657)·3.5 = 32.8
ŷ = 32.8 − 2.657·x
예측값
ŷ = 32.8 + (−2.657)·1.5 = 28.81
잔차
e = 34 − 28.81 = 5.186
답
e = 5.186
점이 직선 위쪽에 있습니다.
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