기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 29, 33, 51, 39, 18.

n = 5

s =

2.기술통계어려움

시험 점수는 평균 70, 표준편차 15인 정규분포를 따릅니다. 100점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 70σ = 15x = 100

z =

3.확률보통

주머니에 빨간 공 5개와 파란 공 6개가 있습니다. 첫 공을 다시 넣지 않고 두 개를 꺼냅니다. 두 공이 모두 빨간 공일 확률 P는 얼마일까요?

5 / 6

P =

4.확률어려움

부품 7개를 시험하며, 각 부품은 독립적으로 확률 0.7로 고장 납니다. 고장이 많아야 하나일 확률 P는 얼마일까요?

n = 7p = 0.7

P =

5.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 −z와 z 사이의 색칠한 넓이가 0.7813이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.7813

z =

6.정규분포어려움

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 전체의 5%가 그 아래에 있는 값 x(5 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 178σ = 7P = 5%

x = cm

7.신뢰구간보통

항목 21개의 표본 평균은 75.5, 표준편차는 s = 6.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 21x̄ = 75.5s = 6.599%t(20) = 2.845

하한 =

8.신뢰구간어려움

모표준편차는 21입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 0.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 21E = 0.595%

n =

9.가설 검정과 신뢰구간보통

두 교수법을 비교한다. 집단 1: 학생 19명, 평균 점수 105, 표준 편차 9.5. 집단 2: 학생 7명, 평균 점수 95.4, 표준 편차 11. 모집단 분산이 같다고 가정하고 합동 이표본 t 검정을 쓴다. 차이를 x̄₁ − x̄₂(집단 1 빼기 집단 2)로 하여 H₀: μ₁ = μ₂에 대한 검정 통계량 t을(를) 구하시오.

n₁ = 19x̄₁ = 105s₁ = 9.5n₂ = 7x̄₂ = 95.4s₂ = 11

t =

10.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 16개의 표본 평균은 49.6입니다. 모표준편차는 15입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 하한 L를 구하세요.

x̄ = 49.6σ = 15n = 1695%

L =

11.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6Σx = 36Σy = 244Σx² = 286Σy² = 10456Σxy = 1652

r =

12.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 7일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 6x = 7

ŷ =

3용액

1.기술통계

답: s = 12.21

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 170/5 = 34

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−5)² + (−1)² + 17² + 5² + (−16)² = 596

표준편차

s = √(596/4) = 12.21

답

s = 12.21

2.기술통계

답: z = 2

표준화하기

z = (100 − 70)/15 = 2

답

z = 2

3.확률

답: P = 0.1818

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

첫 번째와 두 번째 꺼내기

P = 5/11 · 4/10 = 20/110 = 0.1818

답

P = 0.1818

4.확률

답: P = 0.003791

고장 0개와 1개

P(X = 0) = 0.3⁷ = 0.0002187

P(X = 1) = 7·0.7·0.3⁶ = 0.003572

더하기

P = 0.0002187 + 0.003572 = 0.003791

답

P = 0.003791

5.정규분포

답: z = 1.23

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = (1 + 0.7813)/2 = 0.8907

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.8907을 찾아 z를 읽으세요.

z = 1.23

답

z = 1.23

6.정규분포

답: x = 166.5 cm

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

다시 x로

x = 178 + −1.645·7 = 166.49 cm

답

x = 166.49 cm

7.신뢰구간

답: 하한 = 71.46

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 20, t = 2.845

오차 한계

E = 2.845·6.5/√21 = 4.035

구간

75.5 ± 4.035 → [71.46, 79.54]

답

하한 = 71.46

8.신뢰구간

답: n = 6777

n에 대해 풀기

n = (1.96·21/0.5)² = 6777

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 6777

답

n = 6777

9.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 2.194

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

합동 분산

s_p² = (18·9.5² + 6·11²)/24 = 97.94

s_p = 9.896

표준오차

SE = 9.896·√(1/19 + 1/7) = 4.376

검정통계량

t = (105 − 95.4)/4.376 = 2.194

답

t = 2.194

df = 24에서 양측 5% 임곗값은 2.064입니다. |t|가 더 크므로 H₀를 기각합니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: L = 42.25

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

오차 한계

E = 1.96·15/√16 = 7.35

구간 끝값

L = 49.6 − 7.35 = 42.25

답

L = 42.25

11.선형 회귀와 상관

답: r = 0.973

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 1652 − 36·244/6 = 188

S_xx = 286 − 36²/6 = 70

S_yy = 10456 − 244²/6 = 533.3

상관계수

r = 188/√(70·533.3) = 0.973

답

r = 0.973

12.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 27.33

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 164/6 = 27.33

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 252

회귀직선

b = 252/70 = 3.6

a = 27.33 − 3.6·7 = 2.133

ŷ = 2.133 + 3.6·x

예측

ŷ = 2.133 + 3.6·7 = 27.33

답

ŷ = 27.33

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