기술통계
- 평균
- x̄ = Σx/n
- 표본 표준편차
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 중앙값
- 정렬한 데이터의 가운데 값
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- 정규분포
- ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%
기초통계학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
확률
- 여사건
- P(not A) = 1 − P(A)
- 덧셈 정리
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 독립 사건
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 조건부 확률
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 이항분포
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
정규분포
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- x 미만
- P(X < x) = Φ(z)
- x 초과
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 두 값 사이
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 백분위수
- x = μ + z·σ
방법
- 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
- z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
- 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
- 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.
신뢰구간
- σ를 알 때
- x̄ ± z·σ/√n
- σ를 모를 때
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 임계 z값
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 표본 크기
- n = (z·σ/E)², rounded up
방법
- z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
- 신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
- 오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
- 구간: x̄ ± E.
가설 검정과 신뢰구간
- 평균에 대한 z 검정
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 평균에 대한 t 검정
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 유의수준 5% 양측 검정
- |z| > 1.96이면 H0 기각
- 신뢰구간
- x̄ ± z·σ/√n
방법
- H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
- 검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
- 임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
- 통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.
선형 회귀와 상관
- 제곱합
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 기울기
- b = Sxy/Sxx
- 절편
- a = ȳ − b·x̄
- 상관계수
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 잔차
- e = y − ŷ
2연습 문제
1.기술통계보통
자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 22, 16, 29, 21, 15, 12.
n = 6
s =
2.기술통계어려움
시험 점수는 평균 50, 표준편차 8인 정규분포를 따릅니다. 60점의 z점수 z를 구하세요.
μ = 50σ = 8x = 60
z =
3.확률보통
주머니에 빨간 공 7개와 파란 공 9개가 있습니다. 첫 공을 다시 넣지 않고 두 개를 꺼냅니다. 두 공이 모두 빨간 공일 확률 P는 얼마일까요?
7 / 9
P =
4.확률어려움
게임 한 판을 하는 데 €1이 듭니다. 확률 0.2로 €4을, 확률 0.01로 €10을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.
건 돈 = €1€4: p = 0.2€10: p = 0.01
E(G) = €
5.정규분포보통
표준 정규 곡선 아래에서 z의 오른쪽 색칠한 넓이가 0.9406이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.
A = 0.9406
z =
6.정규분포어려움
봉지 무게은(는) 평균 250 g, 표준편차 5 g인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 하위 25%가 왼쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.
μ = 250 gσ = 5 g25%
x = g
7.신뢰구간보통
관측값 64개와 알려진 σ에 근거한 평균의 90% 신뢰구간의 오차 한계는 3.8이다. 같은 연구에서 관측값을 256개로 하면 오차 한계 E₂은(는) 얼마인가?
90%n₁ = 64E₁ = 3.8n₂ = 256
E₂ =
8.신뢰구간어려움
모표준편차는 32입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 1 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?
σ = 32E = 195%
n =
9.가설 검정과 신뢰구간보통
모집단의 평균은 80이라고 주장되며, 모집단의 표준 편차는 12.5로 알려져 있다. 관측값 25개의 확률 표본의 평균은 82.9이다. H₀: μ = 80 대 H₁: μ > 80을(를) 검정하시오. p값 p을(를) 구하시오.
μ₀ = 80σ = 12.5n = 25x̄ = 82.9H₁: μ > μ₀
p =
10.가설 검정과 신뢰구간어려움
H₀: μ = 50 대 H₁: μ < 50의 단측 z 검정을 표본 크기 25, α = 0.01에서 실시한다. 표준 편차는 5로 알려져 있다. 실제 평균은 47.9이다. 제2종 오류의 확률 β을(를) 퍼센트로 구하시오.
μ₀ = 50μ = 47.9σ = 5n = 25α = 0.01
β = %
11.선형 회귀와 상관보통
표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.
n = 6
r² =
12.선형 회귀와 상관어려움
표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 2.5일 때 ŷ을(를) 예측하세요.
n = 6x = 2.5
ŷ =
3용액
1.기술통계
답: s = 6.113
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
평균
x̄ = 115/6 = 19.17
편차의 제곱
Σ(x − x̄)² = 2.833² + (−3.167)² + 9.833² + 1.833² + (−4.167)² + (−7.167)² = 186.8
표준편차
s = √(186.8/5) = 6.113
답
s = 6.113
2.기술통계
답: z = 1.25
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
표준화하기
z = (60 − 50)/8 = 1.25
답
z = 1.25
3.확률
답: P = 0.175
확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
첫 번째와 두 번째 꺼내기
P = 7/16 · 6/15 = 42/240 = 0.175
답
P = 0.175
4.확률
답: E(G) = −0.1 €
이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.
순 결과
G: 3 (p = 0.2), 9 (p = 0.01), −1 (p = 0.79)
기댓값
E(G) = 3·0.2 + 9·0.01 − 1·0.79 = −0.1 €
답
E(G) = −0.1 €
음수는 평균적으로 돈을 잃는다는 뜻입니다.
5.정규분포
답: z = −1.56
넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.
z의 왼쪽 넓이
Φ(z) = 1 − 0.9406 = 0.0594
z-표를 거꾸로 읽기
표 안에서 0.0594을 찾아 z를 읽으세요.
z = −1.56
답
z = −1.56
6.정규분포
답: x = 246.7 g
넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.
왼쪽 넓이
Φ(z) = 0.25
표에서 구한 z
z ≈ −0.67
원래 단위로 되돌리기
x = 250 − 0.67·5 = 246.7 g
답
x = 246.7 g
7.신뢰구간
답: E₂ = 1.9
평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.
오차 한계의 비
E₂/E₁ = (1.645/1.645)·√(64/256) = 0.5
새 오차 한계
E₂ = 3.8·0.5 = 1.9
답
E₂ = 1.9
8.신뢰구간
답: n = 3934
평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.
n에 대해 풀기
n = (1.96·32/1)² = 3934
올림하기
표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.
n = 3934
답
n = 3934
9.가설 검정과 신뢰구간
답: p = 0.123
가설 검정: 검정 통계량 = (추정값 − H₀에서의 값)/(H₀에서의 표준 오차). p값은 H₀가 참이라고 가정할 때 관측된 것만큼 또는 그보다 극단적인 통계량이 나올 확률입니다. 단측 H₁이면 한쪽 꼬리의 면적, 양측 H₁이면 꼬리 면적의 두 배입니다. p ≤ α이면 H₀를 기각합니다.
검정통계량
SE = σ/√n = 12.5/√25 = 2.5
z = (82.9 − 80)/2.5 = 1.16
꼬리 면적
Φ(1.16) = 0.8770
1 − Φ(1.16) = 0.1230
p값
p = 0.123
답
p = 0.123
p > 0.05이므로 5% 수준에서 H₀를 기각하지 않습니다.
10.가설 검정과 신뢰구간
답: β = 58.94 %
검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
임계 표본 평균
SE = 5/√25 = 1
x̄c = 50 − 2.326·1 = 47.67
참 평균에서의 z
z = (47.67 − 47.9)/1 = −0.226
제2종 오류
검정력 = P(Z < −0.226) = 41.06%
β = 100% − 41.06% = 58.94%
답
β = 58.94%
11.선형 회귀와 상관
답: r² = 0.9711
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 476/6 = 79.33
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 286
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1203
결정계수
r² = 286²/(70·1203) = 0.9711
답
r² = 0.9711
y의 변동 중 약 97.11%가 직선으로 설명됩니다.
12.선형 회귀와 상관
답: ŷ = 16.91
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 84/6 = 14
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −51
회귀직선
b = −51/17.5 = −2.914
a = 14 − (−2.914)·3.5 = 24.2
ŷ = 24.2 − 2.914·x
예측
ŷ = 24.2 + (−2.914)·2.5 = 16.91
답
ŷ = 16.91
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