기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 26, 58, 60, 54, 16.

n = 5

s =

2.기술통계어려움

시험 점수는 평균 170, 표준편차 5인 정규분포를 따릅니다. 176.3점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 170σ = 5x = 176.3

z =

3.확률보통

표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.1, 0.3, 0.2, 0.35, 0.05

σ =

4.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €5이 듭니다. 확률 0.25로 €20을, 확률 0.05로 €100을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €5€20: p = 0.25€100: p = 0.05

E(G) = €

5.정규분포보통

X는 평균 12 min, 표준편차 1.5 min인 정규분포를 따르고, Y는 독립이며 평균 20 min, 표준편차 2 min인 정규분포를 따릅니다. X + Y가 35.1 min보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 35.1 min

P =

6.정규분포어려움

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 상위 70%가 오른쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 100 점σ = 15 점70%

x = 점

7.신뢰구간보통

항목 7개의 표본 평균은 76, 표준편차는 s = 13.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 7x̄ = 76s = 13.595%t(6) = 2.447

하한 =

8.신뢰구간어려움

두 비료를 시험한다. 구획 집단 1: 12개 구획, 평균 수확량 78.5 kg, 표준 편차 4 kg. 구획 집단 2: 10개 구획, 평균 86 kg, 표준 편차 6.5 kg. 분산이 같다고 가정한다(합동 t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하시오.

n₁ = 12x̄₁ = 78.5s₁ = 4n₂ = 10x̄₂ = 86s₂ = 6.590%t(20) = 1.725

E = kg

9.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 49명 표본의 평균 점수는 197.6, 표본 표준편차는 12입니다. H₀: μ = 200에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 200x̄ = 197.6s = 12n = 49

t =

10.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 25개의 표본 평균은 111.6입니다. 모표준편차는 20입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 상한 U를 구하세요.

x̄ = 111.6σ = 20n = 2590%

U =

11.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5Σx = 15Σy = 231Σx² = 55Σy² = 10759Σxy = 716

r =

12.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 2.5일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 5x = 2.5

ŷ =

3용액

1.기술통계

답: s = 20.33

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 214/5 = 42.8

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−16.8)² + 15.2² + 17.2² + 11.2² + (−26.8)² = 1653

표준편차

s = √(1653/4) = 20.33

답

s = 20.33

2.기술통계

답: z = 1.25

표준화하기

z = (176.3 − 170)/5 = 1.25

답

z = 1.25

3.확률

답: σ = 1.117

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.1 + 1·0.3 + 2·0.2 + 3·0.35 + 4·0.05 = 1.95

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.1 + 1·0.3 + 4·0.2 + 9·0.35 + 16·0.05 = 5.05

분산

Var(X) = 5.05 − 1.95² = 1.248

σ = √1.248 = 1.117

답

σ = 1.117

4.확률

답: E(G) = 5 €

순 결과

G: 15 (p = 0.25), 95 (p = 0.05), −5 (p = 0.7)

기댓값

E(G) = 15·0.25 + 95·0.05 − 5·0.7 = 5 €

답

E(G) = 5 €

양수는 평균적으로 돈을 딴다는 뜻입니다.

5.정규분포

답: P = 0.1075

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합의 분포

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

표준화하기

z = (35.1 − 32)/2.5 = 1.24

위쪽 꼬리

P = 1 − Φ(1.24) = 1 − 0.8925 = 0.1075

답

P = 0.1075

6.정규분포

답: x = 92.2 점

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.3

표에서 구한 z

z ≈ −0.52

원래 단위로 되돌리기

x = 100 − 0.52·15 = 92.2 점

답

x = 92.2 점

7.신뢰구간

답: 하한 = 63.51

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 6, t = 2.447

오차 한계

E = 2.447·13.5/√7 = 12.49

구간

76 ± 12.49 → [63.51, 88.49]

답

하한 = 63.51

8.신뢰구간

답: E = 3.895 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

합동 표준 편차

s_p² = (11·4² + 9·6.5²)/20 = 27.81

s_p = 5.274

오차 한계

E = 1.725·5.274·√(1/12 + 1/10) = 3.895

답

E = 3.895 kg

9.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −1.4

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 12/√49 = 12/7 = 1.714

검정통계량

t = (197.6 − 200)/1.714 = −1.4

답

t = −1.4

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| < 2.011이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: U = 118.2

오차 한계

E = 1.645·20/√25 = 6.58

구간 끝값

U = 111.6 + 6.58 = 118.2

답

U = 118.2

11.선형 회귀와 상관

답: r = 0.7807

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 716 − 15·231/5 = 23

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 10759 − 231²/5 = 86.8

상관계수

r = 23/√(10·86.8) = 0.7807

답

r = 0.7807

12.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 27.55

평균

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 155/5 = 31

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 23

회귀직선

b = 23/10 = 2.3

a = 31 − 2.3·4 = 21.8

ŷ = 21.8 + 2.3·x

예측

ŷ = 21.8 + 2.3·2.5 = 27.55

답

ŷ = 27.55

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