기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 16, 55, 14, 38, 11, 14, 12.

n = 7

s =

2.기술통계어려움

어떤 양은 평균 170, 표준편차 5인 정규분포를 따릅니다. 172보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 170σ = 5x = 172

P =

3.확률보통

주머니에 빨간 공 5개와 파란 공 8개가 있습니다. 첫 공을 다시 넣지 않고 두 개를 꺼냅니다. 두 공이 모두 빨간 공일 확률 P는 얼마일까요?

5 / 8

P =

4.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 10개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.2로 맞힙니다. 정확히 5개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 10p = 0.2k = 5

P =

5.정규분포보통

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 82.75에서 127.75 점 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 100σ = 15x₁ = 82.75x₂ = 127.75

P =

6.정규분포어려움

배송 시간은(는) 평균 32 min, 표준편차 6 min인 정규분포를 따릅니다. 전체의 95%가 그 아래에 있는 값 x(95 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 32σ = 6P = 95%

x = min

7.신뢰구간보통

두 휴대전화 모델의 배터리 수명을 비교한다. 모델 1: 휴대전화 80대, 평균 102.5 h, 알려진 표준 편차 4 h. 모델 2: 휴대전화 60대, 평균 89 h, 알려진 표준 편차 5 h. μ₁ − μ₂에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하시오.

n₁ = 80x̄₁ = 102.5 hσ₁ = 4 hn₂ = 60x̄₂ = 89 hσ₂ = 5 h90%

E = h

8.신뢰구간어려움

예비 연구에 따르면 제품의 약 0.1이(가) 불량이다. 비율에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 최대 0.025이(가) 되려면 제품을 몇 개 n 검사해야 하는가?

p ≈ 0.1E = 0.02595%

n =

9.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 81명 표본의 평균 점수는 98, 표본 표준편차는 10입니다. H₀: μ = 100에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 100x̄ = 98s = 10n = 81

t =

10.가설 검정과 신뢰구간어려움

H₀: μ = 200 대 H₁: μ > 200의 단측 z 검정을 표본 크기 100, α = 0.05에서 실시한다. 표준 편차는 30로 알려져 있다. 실제 평균은 205.7이다. 제2종 오류의 확률 β을(를) 퍼센트로 구하시오.

μ₀ = 200μ = 205.7σ = 30n = 100α = 0.05

β = %

11.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 5

r² =

12.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 17을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 6ŷ = 17

x =

3용액

1.기술통계

답: s = 16.96

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 160/7 = 22.86

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−6.857)² + 32.14² + (−8.857)² + 15.14² + (−11.86)² + (−8.857)² + (−10.86)² = 1725

표준편차

s = √(1725/6) = 16.96

답

s = 16.96

2.기술통계

답: P = 0.6554

표준화하기

z = 0.4

표준정규분포표

Φ(0.4) = 0.6554

P = 0.6554

답

P = 0.6554

3.확률

답: P = 0.1282

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

첫 번째와 두 번째 꺼내기

P = 5/13 · 4/12 = 20/156 = 0.1282

답

P = 0.1282

4.확률

답: P = 0.02642

이항분포 공식

P(X = 5) = 252·0.2⁵·0.8⁵ = 252·0.00032·0.3277 = 0.02642

답

P = 0.02642

5.정규분포

답: P = 0.8428

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (82.75 − 100)/15 = −1.15

z₂ = (127.75 − 100)/15 = 1.85

사이의 넓이

P = Φ(1.85) − Φ(−1.15) = 0.9678 − 0.1251 = 0.8428

답

P = 0.8428

6.정규분포

답: x = 41.87 min

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.95 → z = 1.645

다시 x로

x = 32 + 1.645·6 = 41.87 min

답

x = 41.87 min

7.신뢰구간

답: E = 1.292 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

점추정값

x̄₁ − x̄₂ = 102.5 − 89 = 13.5

표준오차

SE = √(4²/80 + 5²/60) = 0.7853

오차 한계

E = 1.645·0.7853 = 1.292

답

E = 1.292 h

구간이 0을 포함하지 않으므로 두 평균은 유의하게 다릅니다.

8.신뢰구간

답: n = 554

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n에 대해 풀기

n = 1.96²·0.1·0.9/0.025² = 553.2

올림하기

n = 554

답

n = 554

9.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −1.8

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 10/√81 = 10/9 = 1.111

검정통계량

t = (98 − 100)/1.111 = −1.8

답

t = −1.8

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| < 1.99이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: β = 39.94 %

검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

임계 표본 평균

SE = 30/√100 = 3

x̄_c = 200 + 1.645·3 = 204.9

참 평균에서의 z

z = (204.9 − 205.7)/3 = −0.255

제2종 오류

검정력 = P(Z > −0.255) = 60.06%

β = 100% − 60.06% = 39.94%

답

β = 39.94%

11.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9804

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 114/5 = 22.8

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 40.8

결정계수

r² = −20²/(10·40.8) = 0.9804

답

r² = 0.9804

y의 변동 중 약 98.04%가 직선으로 설명됩니다.

12.선형 회귀와 상관

답: x = 7.348

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 98/6 = 16.33

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 134

회귀직선

b = 134/70 = 1.914

a = 16.33 − 1.914·7 = 2.933

ŷ = 2.933 + 1.914·x

x 구하기

x = (17 − 2.933)/1.914 = 7.348

답

x = 7.348

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1